En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex
és el nombre complex format de la mateixa part real que
i de la part imaginària oposada.
Definició
El conjugat d'un nombre complex
, on a i b són reals, és
.
En el pla complex, el punt d'afix
és el simètric del punt d'afix
respecte de l'eix de les abscisses.
El mòdul del conjugat resta inalterat.
Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant
![{\displaystyle {\begin{array}{r|ccc}c:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a56774458e16385d35e69a048fdaa0385bf55d6)
La conjugació és una operació lineal contínua.
Propietats
Sia
.
![{\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1f209fc5a89e3fd6ee872c52b7a18e54dbb16a)
(on
és la part real de
)
(on
és la part imàginaria de
)
- z és real si i només si
![{\displaystyle {\bar {z}}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186ebc6b8f091932c80249139d1221448d18bd4f)
- z és imaginari pur si i només si
![{\displaystyle {\bar {z}}=-z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e143c94de1a9622ad281dcac6d124666de0faa)
![{\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920da5ee5dc0a6bde6aac4dae309e99f3a76ed1f)
; per consegüent :
si ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
; per consegüent, si
és no nul, ![{\displaystyle z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f70b4f8d1ce691cbf7194ab0b588cef120ff2)
si
és no nul.