Derivada logarítmica

En matemàtiques, específicament en càlcul i anàlisi complexa, la derivada logarítmica d'una funció f es defineix per la fórmula[1]

f ′ f {\displaystyle {\frac {f'}{f}}}
on f ′ {\displaystyle f'} és la derivada de f. Intuïtivament, aquest és el canvi relatiu infinitesimal en f; és a dir, el canvi absolut infinitesimal en f, és a dir f ′ , {\displaystyle f',} escalada pel valor actual de f. [2]


Quan f és una funció f (x) d'una variable real x, i pren valors reals estrictament positius, això és igual a la derivada de ln(f), o al logaritme natural de f. Això es desprèn directament de la regla de la cadena: [3]

d d x ln ⁡ f ( x ) = 1 f ( x ) d f ( x ) d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}
Moltes propietats del logaritme real també s'apliquen a la derivada logarítmica, fins i tot quan la funció no pren valors en els reals positius. Per exemple, com que el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors, tenim [4]
( log ⁡ u v ) ′ = ( log ⁡ u + log ⁡ v ) ′ = ( log ⁡ u ) ′ + ( log ⁡ v ) ′ . {\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}
Així, per a les funcions de valor positiu-real, la derivada logarítmica d'un producte és la suma de les derivades logarítmiques dels factors. Però també podem utilitzar la llei de Leibniz per obtenir la derivada d'un producte
( u v ) ′ u v = u ′ v + u v ′ u v = u ′ u + v ′ v . {\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}
Exemples:

  • El creixement exponencial i la decadència exponencial són processos amb derivada logarítmica constant.
  • En finances matemàtiques, el símbol grec λ és la derivada logarítmica del preu del derivat respecte al preu subjacent.
  • En l'anàlisi numèrica, el nombre de condició és el canvi relatiu infinitesimal en la sortida per a un canvi relatiu en l'entrada i, per tant, és una relació de derivades logarítmiques.

Referències

  1. ↑ Weisstein, Eric W. «Logarithmic Derivative» (en anglès). https://mathworld.wolfram.com.+[Consulta: 8 gener 2023].
  2. ↑ «Derivatives of Logarithmic Functions | Brilliant Math & Science Wiki» (en anglès). https://brilliant.org.+[Consulta: 8 gener 2023].
  3. ↑ «logarithmic derivative». planetmath.org. [Consulta: 12 agost 2021].
  4. ↑ «Calculus I - Logarithmic Differentiation» (en anglès). https://tutorial.math.lamar.edu.+[Consulta: 8 gener 2023].