Funció gamma inversa

La gràfica de la funció 1/Γ(x) al llarg de l'eix real.
Funció gamma inversa 1/Γ(z) al pla complex. El color d'un punt z codifica el valor de 1/Γ(z). Els colors forts denoten valors prop de zero i el matís codifica l'argument del valor.

En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:

f ( z ) = 1 Γ ( z ) , {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}

on Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el l o g l o g | 1 Γ ( z ) | {\displaystyle loglog\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert } no creix més ràpid que el l o g | Γ ( z ) | {\displaystyle log\left\vert \Gamma (z)\right\vert } ), però de tipus infinit (el que significa que l o g | 1 Γ ( z ) | {\displaystyle log\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert } creix més ràpid que qualsevol múltiple de | z | {\displaystyle \left\vert z\right\vert } , ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a | z | l o g | z | {\displaystyle \left\vert z\right\vert log\left\vert z\right\vert } al pla esquerre).

Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.

Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.

Desenvolupament en producte infinit

Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:

1 Γ ( z ) = z ∏ n = 1 ∞ 1 + z n ( 1 + 1 n ) z 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}

on γ ≈ 0 , 577216... {\displaystyle \gamma \approx 0,577216...} és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos z.

Sèries de Taylor

Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de 0 {\displaystyle 0}

1 Γ ( z ) = z + γ z 2 + ( γ 2 2 − π 2 12 ) z 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }

on γ {\displaystyle \gamma } és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a k > 2 {\displaystyle k>2} , el coeficient a k {\displaystyle a_{k}} per al terme z k {\displaystyle z^{k}} es pot calcular recursivament com[1]

a k = a 2 a k − 1 − ∑ j = 2 k − 1 ( − 1 ) j ζ ( j ) a k − j k − 1 {\displaystyle a_{k}={\frac {a_{2}a_{k-1}-\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}}{k-1}}}

on ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:[2]

a k = ( − 1 ) n π n ! ∫ 0 ∞ e − t ℑ [ ( log ⁡ ( t ) − i π ) n ] d t . {\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.}

Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:

k ak
1 +1.0000000000000000000000000000000000000000
2 +0.5772156649015328606065120900824024310422
3 −0.6558780715202538810770195151453904812798
4 −0.0420026350340952355290039348754298187114
5 +0.1665386113822914895017007951021052357178
6 −0.0421977345555443367482083012891873913017
7 −0.0096219715278769735621149216723481989754
8 +0.0072189432466630995423950103404465727099
9 −0.0011651675918590651121139710840183886668
10 −0.0002152416741149509728157299630536478065
11 +0.0001280502823881161861531986263281643234
12 −0.0000201348547807882386556893914210218184
13 −0.0000012504934821426706573453594738330922
14 +0.0000011330272319816958823741296203307449
15 −0.0000002056338416977607103450154130020573
16 +0.0000000061160951044814158178624986828553
17 +0.0000000050020076444692229300556650480600
18 −0.0000000011812745704870201445881265654365
19 +0.0000000001043426711691100510491540332312
20 +0.0000000000077822634399050712540499373114
21 −0.0000000000036968056186422057081878158781
22 +0.0000000000005100370287454475979015481323
23 −0.0000000000000205832605356650678322242954
24 −0.0000000000000053481225394230179823700173
25 +0.0000000000000012267786282382607901588938
26 −0.0000000000000001181259301697458769513765
27 +0.0000000000000000011866922547516003325798
28 +0.0000000000000000014123806553180317815558
29 −0.0000000000000000002298745684435370206592
30 +0.0000000000000000000171440632192733743338

Una aproximació per a a k {\displaystyle a_{k}} es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:

a k ≈ ( − 1 ) n 2 π n n ! ℑ ( e − n z 0 z 0 1 / 2 − n 1 + z 0 ) , {\displaystyle a_{k}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),}

on z 0 = e W − 1 ( − n ) − n {\displaystyle z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}} , i W − 1 {\displaystyle W_{-1}} és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.

Desenvolupament asimptòtic

Com | z | {\displaystyle \left\vert z\right\vert } tendeix a l'infinit a una constant a r g ( z ) {\displaystyle arg(z)} tenim:

ln ⁡ ( 1 / Γ ( z ) ) ∼ − z ln ⁡ ( z ) + z + 1 2 ln ⁡ ( z 2 π ) − 1 12 z + 1 360 z 3 − 1 1260 z 5 per a | arg ⁡ ( z ) | < π {\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{per a}}\quad |\arg(z)|<\pi }

Representació integral de contorn

Una representació integral segons Hermann Hankel és

1 Γ ( z ) = i 2 π ∮ H ( − t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

on H {\displaystyle H} és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta 0 {\displaystyle 0} en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.

Representacions integrals en els enters positius

Per a enters positius n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per[3]

1 n ! = 1 2 π ∫ − π π e − n ı ϑ e e ı ϑ   d ϑ {\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta } .

De la mateixa manera, per a qualsevol real c > 0 {\displaystyle c>0} i z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:[4]

1 Γ ( z ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( c + ı t ) − z e c + ı t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,}

on el cas particular quan z := n + 1 / 2 {\displaystyle z:=n+1/2} proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, 1 ( 2 n − 1 ) ! ! = π 2 n ⋅ Γ ( n + 1 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}} .

Integral al llarg de l'eix real

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor

∫ 0 ∞ 1 Γ ( x ) d x ≈ 2.80777024 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}

que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.

Referències

  1. ↑ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
    Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
  2. ↑ Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function . HAL archives, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01029331v1
  3. ↑ Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1994, p. 566. 
  4. ↑ «Integral formula for 1 / Γ ( z ) {\displaystyle 1/\Gamma (z)} ».

Bibliografia

  • Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Arxivat 2016-03-04 a Wayback Machine.
  • Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Arxivat 2020-05-31 a Wayback Machine.
  • Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
  • Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld

Vegeu també