Tensor d'inèrcia

El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza la inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el moments d'inèrcia i els elements de fora la diagonal són els productes d'inèrcia.

Definició

Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai A {\displaystyle A} (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}} que té origen de coordenades A {\displaystyle A} . D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+x_{3}\mathbf {e} _{3}}

Anomenarem V {\displaystyle V} a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} és la densitat de massa del punt x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} . Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base venen donades per la següent expressió:

I i j = ∫ V ρ ( x ) ( δ i j ∑ k = 1 3 x k 2 − x i x j ) d 3 x {\displaystyle I_{ij}=\int _{V}\rho ({\boldsymbol {x}})\left(\delta _{ij}\sum _{k=1}^{3}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} ^{3}x}

Motivació

La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.

Moment angular

Suposem que un sòlid rígid gira amb velocitat angular ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} , i volem calcular el seu moment angular respecte al punt A {\displaystyle A} . Llavors, es compleix que:

L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}

És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.

Energia cinètica

Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte al punt A {\displaystyle A} és:

T = 1 2 ω ⋅ ( I ω ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}

Vegeu també