Ehrenfestovy teorémy

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

d d t ⟨ A ^ ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle } ,

kde A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} je nějaký kvantově-mechanický operátor a ⟨ A ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle } je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu Φ {\displaystyle \Phi } . Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} platí

d d t ⟨ A ^ ⟩ = d d t ∫ Φ ⋆ A ^ Φ   d x 3 = ∫ ( ∂ Φ ⋆ ∂ t ) A ^ Φ   d x 3 + ∫ Φ ⋆ ( ∂ A ^ ∂ t ) Φ   d x 3 + ∫ Φ ⋆ A ^ ( ∂ Φ ∂ t )   d x 3 = {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}=}
= ∫ ( ∂ Φ ⋆ ∂ t ) A ^ Φ   d x 3 + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ + ∫ Φ ⋆ A ^ ( ∂ Φ ∂ t )   d x 3 {\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}\right){\hat {A}}\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{\star }{\hat {A}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~\mathrm {d} x^{3}} ,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle } .

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

∂ Φ ∂ t = 1 i ℏ H ^ Φ {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}{\hat {H}}\Phi }

a také

∂ Φ ⋆ ∂ t = − 1 i ℏ Φ ⋆ H ^ ⋆ = − 1 i ℏ Φ ⋆ H ^ {\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{\star }}{\partial t}}={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}^{\star }={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\Phi ^{\star }{\hat {H}}}

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit H ^ = H ^ ⋆ {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\star }} . Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

d d t ⟨ A ^ ⟩ = 1 i ℏ ∫ Φ ⋆ ( A ^ H ^ − H ^ A ^ ) Φ   d x 3 + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\int \Phi ^{\star }({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}})\Phi ~\mathrm {d} x^{3}+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }

Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

H ^ ( x , p , t ) = p 2 2 m + V ( x , t ) {\displaystyle {\hat {H}}(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)} ,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

d d t ⟨ p ^ ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ p ^ ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p ^ , V ( x , t ) ] ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \left[{\hat {p}},V(x,t)\right]\rangle } ,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla } , z čehož plyne ∂ p ^ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {p}}}{\partial t}}=0} . Tedy

d d t ⟨ p ^ ⟩ = ∫ Φ ⋆ V ( x , t ) ∇ Φ   d x 3 − ∫ Φ ⋆ ∇ ( V ( x , t ) Φ )   d x 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\int \Phi ^{\star }V(x,t)\nabla \Phi ~\mathrm {d} x^{3}-\int \Phi ^{\star }\nabla (V(x,t)\Phi )~\mathrm {d} x^{3}}

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

d d t ⟨ p ^ ⟩ = ⟨ − ∇ V ( x , t ) ⟩ = ⟨ F ^ ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {p}}\rangle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle {\hat {F}}\rangle } .

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor F ^ {\displaystyle {\hat {F}}} lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

d d t ⟨ x ^ ⟩ = ⟨ d x ^ d t ⟩ = ⟨ p ^ ⟩ m {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left\langle {\hat {x}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\mathrm {d} {\hat {x}}}{\mathrm {d} t}}\right\rangle ={\frac {\left\langle {\hat {p}}\right\rangle }{m}}} ,

kde m {\displaystyle m} je hmotnost částice.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ehrenfest theorem na anglické Wikipedii.

Související články

Externí odkazy