Geometrické rozdělení

Pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení pro více hodnot pravděpodobnosti úspěchu: 0,8 (červená), 0,2 (modrá), 0,5 (zelená)

Geometrické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých bernoulliovských pokusů, tedy náhodných pokusů, jejichž výsledkem je 1 (úspěch) s pravděpodobností p {\displaystyle p} a 0 (neúspěch) s pravděpodobností 1 − p {\displaystyle 1-p} . Pomáhá tak odpovědět na otázky typu „kolikrát musí hráč neúspěšně hodit kostkou, než mu padne šestka?“ nebo „jak pravděpodobné je, že člověk desetkrát vsadí stejný tiket v loterii, a nic nevyhraje?“ Někdy se pod názvem geometrické rozdělení myslí velmi podobné posunuté geometrické rozdělení, distribuce počtu nezávislých bernoulliovských pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu. Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je ten, že hodnota obvyklého geometrického rozdělení pro číslo n {\displaystyle n} je rovna hodnotě posunutého rozdělení pro n + 1 {\displaystyle n+1} , distribuční funkce tedy jsou vzájemně posunuty o jednotku.

Vzorce

Diskrétní náhodná veličina X {\displaystyle X} s geometrickým rozdělením se označuje například X ∼ Geo ( p ) {\displaystyle X\sim {\text{Geo}}(p)} a je definována pro celočíselné hodnoty od nuly do nekonečna (u posunutého geometrického rozdělení od jedné do nekonečna).

Pravděpodobnostní funkce je

Pr ( Y = k ) = ( 1 − p ) k p {\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}p}

pro k = 0, 1, 2,..., jinak je rovna nule. Pro posunuté geometrické rozdělení je pravděpodobnostní funkce

Pr ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p {\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p}

pro k = 1, 2, 3,..., jinak nula. Distribuční funkce je

F ( k ) = 1 − ( 1 − p ) k + 1 , {\displaystyle F(k)=1-(1-p)^{k+1},}

respektive

F ( k ) = 1 − ( 1 − p ) k {\displaystyle F(k)=1-(1-p)^{k}}

pro posunuté geometrické rozdělení.

Střední hodnota geometrického rozdělení je

E ⁡ ( X ) = 1 − p p , {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}},}

případně

E ⁡ ( X ) = 1 p {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}}

pro posunuté geometrické rozdělení.

Rozptyl je u běžného i posunutého geometrického rozdělení shodně

D ⁡ ( X ) = 1 − p p 2 . {\displaystyle \operatorname {D} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu geometrické rozdělení na Wikimedia Commons
Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.