Linearizace

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení části křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

Způsoby linearizace

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

Pokud je cílem stanovení přibližné rovnice z experimentálně získaných hodnot, používá se obvykle lineární regrese, která je jednou z aplikací metody nejmenších čtverců.

Příklad: Přibližný výpočet e^0,01

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce $f(x)=e^{x}$ ( $e$ představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro $x=0,01$ , přičemž je známá hodnota funkce v bodu $x_{0}=0$ ( $f(x_{0})=f(0)=e^{0}=1$ ) a dále je známá první derivace ( $f'(x)=e^{x}$ ), která je v bodě $x_{0}$ rovna $f'(x_{0})=e^{0}=1$ .

Funkci $f(x)$ nahradíme v blízkém okolí bodu $x_{0}$ tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

y(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})

y(x)=1+1\cdot (x-0)=1+x

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty $f(x)$ pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny $y(x)$ .

f(0,01)\approx y(0,01)=1+0,01=1,01

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou $e^{0,01}\doteq 1,010050167$ , vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)