Trigonometrický polynom

Trigonometrický polynom je v matematice konečná lineární kombinace funkcí sin(nx) a cos(nx) pro přirozená n. Při omezení se na reálné funkce lze pracovat s reálnými koeficienty; v případě komplexních koeficientů není žádný rozdíl mezi takovou funkcí a konečnou Fourierovou řadou.

Trigonometrické polynomy se často používají v numerické matematice a matematické analýze, například při interpolaci periodických funkcí pomocí trigonometrické interpolace. Používají se také pro diskrétní Fourierovu transformaci.

V oboru reálných čísel lze termín trigonometrický polynom považovat za použití analogie: funkce sin(nx) a cos(nx) jsou obdobou jednočlenné báze polynomů. V komplexním případě se za trigonometrické polynomy označují výrazy s kladnými i zápornými mocninami eix.

Formální definice

Libovolnou funkci T tvaru

T ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 N a n cos ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 N b n sin ⁡ ( n x ) ( x ∈ R ) {\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )}

s a n , b n ∈ C {\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} } pro 0 ≤ n ≤ N {\displaystyle 0\leq n\leq N} , nazveme komplexním trigonometrickým polynomem stupně N.[1] Pomocí Eulerova vzorce lze takový polynom přepsat do tvaru

T ( x ) = ∑ n = − N N c n e i n x ( x ∈ R ) . {\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).}

Obdobně výraz

t ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 N a n cos ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 N b n sin ⁡ ( n x ) ( x ∈ R ) {\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )}

pro a n , b n ∈ R , 0 ≤ n ≤ N {\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N} a a N ≠ 0 {\displaystyle a_{N}\neq 0} nebo b N ≠ 0 {\displaystyle b_{N}\neq 0} , nazýváme reálným trigonometrickým polynomem stupně N.[2]

Vlastnosti

Trigonometrický polynom lze považovat za periodickou funkci na reálné ose, s periodou rovnou celočíselnému násobku 2 π {\displaystyle \pi } nebo za funkci na jednotkové kružnici.

Důležitou vlastností trigonometrických polynomů je, že jsou husté v prostoru spojitých funkcí na jednotkové kružnici, se supremovou normou[3]; jde o speciální případ Stoneovy–Weierstrassovy věty. Přesněji: pro každou spojitou funkci f a každé ε > 0, existuje trigonometrický polynom T takový, že pro všechna z |f(z) − T(z)| < ε. Fejérova věta říká, že aritmetické průměry částečných součtů Fourierovy řady funkce f konvergují rovnoměrně k f, za předpokladu, že f je spojitá na kružnici, což nám dává explicitní metodu pro nalezení aproximačního trigonometrického polynomu T.

Pokud trigonometrický polynom stupně N není nulová funkce, pak má v jakémkoli intervalu ⟨ a , a + 2 π ) {\displaystyle \langle a,a+2\pi )} reálných čísel nejvýše 2N kořenů.[2]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Trigonometric polynomial na anglické Wikipedii.

  1. ↑ Rudin 1987, s. 88.
  2. ↑ a b Powell 1981, s. 150.
  3. ↑ Rudin 1987, Thm 4.25.

Literatura

  • POWELL, Michael J. D., 1981. Approximation Theory and Methods. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 978-0-521-29514-7. 
  • RUDIN, Walter, 1987. Real and complex analysis. 2. vyd. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.