Algebraische Gleichung

Die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms – einem klassischen Problem der Algebra – führt zu einer algebraischen Gleichung, auch Polynomgleichung oder polynomiale Gleichung genannt. Mit ihrer Lösung beschäftigten sich Mathematiker wie Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Gauß und Galois.

Definition

Eine algebraische Gleichung vom Grad $n$ ( $n\in \mathbb {N}$ ) über einem Ring oder Körper $K$ ist eine Gleichung

P(x)=0

wobei $P$ ein Polynom $n$ -ten Grades über $K$ ist, also eine Gleichung der Form

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0

mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $K$ und $a_{n}\neq 0.$ ^[1]

Lösung

Die Nullstellen von Polynomen werden auch als Wurzeln des Polynoms bezeichnet.

Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt algebraische Zahl; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen algebraische Elemente. Die Lösungen liegen im Körper selbst oder einem Erweiterungskörper, der durch eine algebraische Erweiterung – nämlich die Adjunktion aller Lösungen – aus dem ursprünglichen Körper hervorgeht.

Jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen vom Grad $n$ mit komplexen Koeffizienten hat genau $n$ komplexe Lösungen – mit Vielfachheit gezählt (Fundamentalsatz der Algebra).

Für die algebraischen Gleichungen über den komplexen Zahlen 2., 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln (siehe quadratische Gleichung, kubische Gleichung, quartische Gleichung). Die allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades sind nicht durch Radikale auflösbar (Satz von Abel-Ruffini). Die Frage, welche speziellen Gleichungen 5. oder höheren Grades durch Radikale auflösbar sind, wird im Rahmen der Galoistheorie beantwortet.