Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

bei der normalen Multiplikation. Bilineare Abbildungen sind ein Spezialfall multilinearer Abbildungen.

Definition

Eine ${\displaystyle K}$-bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

${\displaystyle f\colon E\times F\to G}$, wobei ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ drei ${\displaystyle K}$-Moduln oder ${\displaystyle K}$-Vektorräume über dem (gleichen) Ring bzw. Körper ${\displaystyle K}$ sind,

so dass für jedes (fest gewählte) ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle F}$

${\displaystyle x\mapsto f(x,y)}$

eine ${\displaystyle K}$-lineare Abbildung ${\displaystyle E\to G}$ ist, und für jedes ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle E}$

${\displaystyle y\mapsto f(x,y)}$

eine lineare Abbildung ${\displaystyle F\to G}$ ist. Für beliebige ${\displaystyle x,x'\in E}$, ${\displaystyle y,y'\in F}$ und ${\displaystyle \alpha \in K}$ gilt demnach

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+x',y)&=f(x,y)+f(x',y)\\f(x\cdot \alpha ,y)&=\alpha \cdot f(x,y)\\f(x,y+y')&=f(x,y)+f(x,y')\\f(x,\alpha \cdot y)&=\alpha \cdot f(x,y).\\\end{aligned}}}$

Man kann sagen, dass der Begriff der Bilinearität eine Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze darstellt. Dabei beschreibt die Bilinearität jedoch nicht nur (wie die Distributivgesetze) das Verhalten der Abbildung hinsichtlich Addition, sondern auch hinsichtlich Skalarmultiplikation.

Genauer: Ist ${\displaystyle K}$ ein (möglicherweise nicht-kommutativer) Ring mit ${\displaystyle 1}$, dann muss die Seitigkeit der Moduln miteinbezogen werden, d. h. ${\displaystyle E}$ muss ein rechter und ${\displaystyle F}$ ein linker ${\displaystyle K}$-Modul sein. Die Seitigkeit von ${\displaystyle G}$ bleibt frei wählbar (in den Gleichungen ist sie links), weil ${\displaystyle K}$ auf ${\displaystyle G}$ – zumindest jedoch auf dem Bild ${\displaystyle f(F\times E)\subset G}$ und damit auch auf dem von ihm aufgespannten Untermodul bzw. Unterraum – kommutativ operiert: ${\displaystyle \alpha \cdot \beta \cdot f(x,y)=\alpha \cdot f(x,\beta \cdot y)=f(\alpha \cdot x,\beta \cdot y)=\beta \cdot f(\alpha \cdot x,y)=\beta \cdot \alpha \cdot f(x,y)\;.}$

Normierte Räume

Sind die betrachteten ${\displaystyle K}$-Vektorräume normiert, dann lässt sich analog zu linearen Abbildungen eine Operatornorm definieren:

${\displaystyle \|f\|:=\sup \limits _{x,y\neq 0}{\frac {\|f(x,y)\|}{\|x\|\cdot \|y\|}}=\sup \limits _{\|x\|,\|y\|=1}\|f(x,y)\|}$

${\displaystyle f}$ ist stetig genau dann wenn ${\displaystyle \|f\|<\infty }$. Es gilt die Submultiplikativität ${\displaystyle \|f(x,y)\|\leq \|f\|\cdot \|x\|\cdot \|y\|}$.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung ${\displaystyle B}$ stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

${\displaystyle DB(x_{0},y_{0})(x,y)\;=\;B(x_{0},y)\,+\,B(x,y_{0})}$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien ${\displaystyle f,g}$ total differenzierbare Funktionen, dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}DB(f(\cdot ),g(\cdot \cdot ))(x_{0},y_{0})(x,y)&=D(B\circ (f,g))(x_{0},y_{0})(x,y)\\&=B(Df(x_{0})x,g(y_{0}))+B(f(x_{0}),Dg(y_{0})y)\end{aligned}}}$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und das Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich ${\displaystyle G}$ mit dem Skalarkörper ${\displaystyle K}$ der Vektorräume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ identisch.

${\displaystyle f\colon E\times F\to K}$

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie und Antisymmetrie (für ${\displaystyle F=E}$) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung ${\displaystyle E\times E\to E}$ macht ${\displaystyle E}$ zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt, dass

${\displaystyle f(x,\alpha \cdot y)=\alpha ^{*}\cdot f(x,y)}$

(wobei ${\displaystyle *}$ die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

${\displaystyle f\colon E\times F\to G}$

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\displaystyle E\otimes F\to G,x\otimes y\mapsto f(x,y);}$

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

${\displaystyle \lambda \colon E\otimes F\to G}$

eine bilineare Abbildung

${\displaystyle E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto \lambda (x\otimes y).}$

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen ${\displaystyle E\times F\to G}$ und dem Raum der linearen Abbildungen ${\displaystyle E\otimes F\to G}$.

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen Vektorräumen

Sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Vektorräume mit beliebig gewählten Basen ${\displaystyle (b_{i})_{i=1,\dotsc ,n}}$ von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle (c_{j})_{j=1,\dotsc ,m}}$ von ${\displaystyle F}$, dann gibt es für ein beliebiges ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle E}$ die Darstellung

${\displaystyle x=\sum _{i}x_{i}b_{i}}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle x_{i}}$ aus ${\displaystyle K}$ und analog für ein beliebiges ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle F}$ die Darstellung

${\displaystyle y=\sum _{j}y_{j}c_{j}.}$

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}f(b_{i},c_{j}).}$

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ bestimmt. Ist ${\displaystyle G}$ ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ einen maximal ${\displaystyle n\cdot m}$ dimensionalen Untervektorraum von ${\displaystyle G}$ auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die ${\displaystyle f(b_{i},c_{j})}$ aus ${\displaystyle K}$, so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden können. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.