In Mathematik und Physik ist ein -dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert , die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für .
Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.
In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.
Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Eigenschaften
3Statische Koordinaten
4Slicing-Koordinaten
4.1Flach
4.2Geschlossen
4.3Offen
4.4DS
5Sonstiges
6Siehe auch
7Literatur
8Nachweise
Definition
Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.
Betrachtet man also den Minkowski-Raum mit dem üblichen metrischen Tensor
Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid
beschrieben wird, wobei eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition durch ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)
Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe . Daher hat die Metrik unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor des De-Sitter-Raumes ist
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in -Koordinaten:
mit der flachen Metrik auf .
Geschlossen
Ansatz:
mit
wobei die eine -Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
Wird die Zeit-Variable geändert in die konforme Zeit:
so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:
Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.
Offen
Ansatz:
mit
wobei eine Sphäre formt mit der Standard-Metrik
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes
mit der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.
DS
Ansatz:
mit
wobei die eine -Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
wobei
die Metrik eines -dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius .
Die hyperbolische Metrik lautet:
Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten
und außerdem der Tausch von und , weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.
Sonstiges
Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.[1]
W. de Sitter: On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band19, 1917, S.1217–1225.
W. de Sitter: On the curvature of space. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band20, 1917, S.229–243.
Tullio Levi-Civita: Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. In: Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei. Band26, 1917, S.519–31.
K. Nomizu: The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension. In: Hokkaido Mathematical Journal. Band11, Nr.3, 1982, S.253–261.
H. S. M. Coxeter: A geometrical background for de Sitter's world. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): American Mathematical Monthly. Band50, Nr.4, 1943, S.217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR:2303924.
L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. 2005, S.119 (11.5.25).
Qingming Cheng: De Sitter space. Springer.
Nachweise
↑R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007