Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow G}$ eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von ${\displaystyle G}$. Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparameter-Untergruppen.

Beispiele

• Die stetigen Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto \lambda x}$ für ein festes ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$.
• Die stetigen Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{\times }}$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$ für ein festes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} _{>0}}$.

Literatur

• John Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969