Ekelands Variationsprinzip

Ekelands Variationsprinzip ist ein Theorem aus der Variationsrechnung, welches die Existenz eines minimalen Punktes für beschränkte, unterhalbstetige Funktionen auf vollständigen, metrischen Räumen garantiert.

Das Variationsprinzip wurde 1972 von dem französischen Mathematiker Ivar Ekeland bewiesen.^[1][2]

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein vollständiger, metrischer Raum und ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ eine unterhalbstetige Funktion, so dass

• ${\displaystyle F}$ von unten beschränkt ist, d. h.

${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)>-\infty }$,

wobei ${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)}$ nicht erreicht werden muss.

• ${\displaystyle F\not \equiv +\infty }$.

Für ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ sei ${\displaystyle u\in X}$ so, dass

${\displaystyle \inf \limits _{x\in X}F(x)\leq F(u)\leq \inf \limits _{x\in X}F(x)+\varepsilon }$

gilt.

Dann existiert für jedes ${\displaystyle \lambda >0}$ ein Punkt ${\displaystyle v_{\lambda }\in X}$, so dass^[3]

${\displaystyle F(v_{\lambda })\leq F(u);\qquad d(v_{\lambda },u)\leq \lambda ;\qquad F(v_{\lambda })-(\varepsilon /\lambda )d(w,v_{\lambda })<F(w),\;\forall w\neq v_{\lambda }.}$

Daraus folgt, dass für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ein ${\displaystyle v\in X}$ existiert, so dass

${\displaystyle F(v)\leq \inf \limits _{x\in X}F(x)+\varepsilon }$

und

${\displaystyle F(v)-\varepsilon d(w,v)<F(w),\;\forall w\in X.}$

1. ↑ Ivar Ekeland: Sur les problèmes variationnels. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 275, 1972, S. 1057–1059 (französisch). 
2. ↑ Ivar Ekeland: On the variational principle. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications. Band 47, Nr. 2, 1974, S. 324–353, doi:10.1016/0022-247X(74)90025-0 (englisch). 
3. ↑ Ivar Ekeland: On the variational principle. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications. Band 47, Nr. 2, 1974, S. 324, doi:10.1016/0022-247X(74)90025-0 (englisch).