Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

E = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 = 1,606 69   51524   15291   76378   . . . {\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=1{,}60669{\text{ }}51524{\text{ }}15291{\text{ }}76378{\text{ }}...} (Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

E = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 2 n + 1 2 n − 1 {\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}
E = ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 2 m n {\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}
E = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 n ( 2 n − 1 ) {\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}
E = ∑ n = 1 ∞ σ 0 ( n ) 2 n {\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}

wobei σ0(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet.[1] Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist.[2] Borwein zeigte 1992, dass allgemein

∑ n = 1 ∞ 1 q n − r {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{q^{n}-r}}}     und     ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n q n − r {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{q^{n}-r}}}

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qn irrational, aber nicht liouvillesch sind.[3]

Literatur

  • Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Weblinks

  • Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).
  • Folge A038631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von E)

Einzelnachweise

  1. ↑ Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
  2. ↑ Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
  3. ↑ Peter B. Borwein: Originals vom 2. Juni 2014 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.cecm.sfu.ca (PDF; 3,3 MB) 11. Dezember 1991. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112, 1992, S. 141–146 (englisch)