Exponentialsumme

Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

${\displaystyle S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)}$

für ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, wobei ${\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} }$ eine (üblicherweise glatte) Funktion und ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$ ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist ${\displaystyle f}$ ein reelles Polynom, so bezeichnet man ${\displaystyle S_{f}(N)}$ auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.^[1]

Eigenschaften

Die Funktion ${\displaystyle e(x)}$ nennt man additiver Charakter auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f}$ nennt man Amplitudenfunktion und ${\displaystyle N}$ Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

${\displaystyle S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)}$

notiert, wobei ${\displaystyle f}$ nun auf dem Interval ${\displaystyle [M+1,M+N]}$ definiert sein muss.

Komplexe Verallgemeinerung

Exponentialsummen können für eine reelle Folge ${\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}}$ auch auf

${\displaystyle \sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)}$

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition mit der Wahl einer komplexen Funktion ${\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {C} }$, da

${\displaystyle a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (f(n))}.}$

Noch allgemeiner definiert man

${\displaystyle S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)}$

für eine beliebige komplex-wertige Funktion ${\displaystyle \Phi }$ und eine reell-wertige Funktion ${\displaystyle F}$.^[2]

Geschichte

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1).^[3] 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.^[4]

1921^[5] und 1922^[6] veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935^[7] und 1936^[8] veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.^[9] Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen.^[10][11] Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

Literatur

• Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227. 
• Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983. 

Einzelnachweise

1. ↑ B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023. 
2. ↑ A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023. 
3. ↑ Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352. 
4. ↑ Hermann Weyl: Zur Abschatzung von ${\displaystyle \zeta (1+t\mathrm {i} )}$. In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101. 
5. ↑ J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org). 
6. ↑ J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035. 
7. ↑ I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530. 
8. ↑ I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188. 
9. ↑ Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227. 
10. ↑ I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294. 
11. ↑ I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.