Fallende und steigende Faktorielle

Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

Definition

Für natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$ wird die ${\displaystyle k}$-te fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) als ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ bzw. ${\displaystyle n^{\overline {k}}}$ notiert und ist wie folgt definiert:

${\displaystyle n^{\underline {k}}:=\prod \limits _{j=1}^{k}(n-j+1)=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

${\displaystyle n^{\overline {k}}:=\prod \limits _{j=1}^{k}(n+j-1)=n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}}$

Man liest die Terme als „${\displaystyle n}$ hoch ${\displaystyle k}$ fallend“ bzw. „${\displaystyle n}$ hoch ${\displaystyle k}$ steigend“.

In manchen Lehrbüchern wird auch ${\displaystyle (n)_{k}}$ bzw. ${\displaystyle n^{(k)}}$ verwendet.

Kombinatorische Interpretation

Im Urnenmodell lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit ${\displaystyle n}$ verschiedenen Kugeln ${\displaystyle k}$ Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es ${\displaystyle n}$ Kandidaten, für die zweite ${\displaystyle n-1}$ … und schließlich für die letzte Kugel noch ${\displaystyle n-k+1}$. Für die Gesamtauswahl gibt es daher ${\displaystyle n(n-1)\cdots (n-k+1)=n^{\underline {k}}}$ Möglichkeiten.

Allgemein ist ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ die Anzahl der ${\displaystyle k}$-Permutationen einer ${\displaystyle n}$-Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer ${\displaystyle k}$-Menge in eine ${\displaystyle n}$-Menge.

Verallgemeinerung

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl ${\displaystyle x}$ und eine natürliche Zahl ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle x^{\underline {k}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

${\displaystyle x^{\overline {k}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1)}$

Man kann ${\displaystyle x^{\underline {k}}}$ und ${\displaystyle x^{\overline {k}}}$ dann als komplexe Polynome in ${\displaystyle x}$ auffassen.

Für ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ stimmt die steigende Faktorielle ${\displaystyle x^{\overline {k}}}$ mit dem Pochhammer-Symbol ${\displaystyle (x,k)}$ überein.

Eigenschaften

Rechenregeln

Es gelten folgende Rechenregeln:

${\displaystyle x^{\underline {1}}=x^{\overline {1}}=x}$

${\displaystyle x^{\underline {0}}=x^{\overline {0}}=1}$

${\displaystyle (-x)^{\overline {k}}=(-1)^{k}x^{\underline {k}}}$

${\displaystyle x^{\underline {k}}=(-x)^{\overline {k}}=0}$  für ${\displaystyle 0\leq x<k}$ und ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$

Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen

Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

${\displaystyle {\binom {x}{k}}:={\frac {1}{k!}}x^{\underline {k}}}$

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei ${\displaystyle \displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$ und ${\displaystyle \displaystyle \left\{\!{n \atop k}\!\right\}}$ die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

${\displaystyle \displaystyle x^{k}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left\{\!{k \atop j}\!\right\}\cdot x^{\underline {j}}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{k}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-j}\left\{{k \atop j}\right\}\cdot x^{\overline {j}}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{\overline {k}}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\left[{k \atop j}\right]\cdot x^{j}}$

${\displaystyle \displaystyle x^{\underline {k}}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-j}\left[{k \atop j}\right]\cdot x^{j}}$

Vorkommen in der Analysis

${\displaystyle {{\operatorname {d} ^{j}} \over \operatorname {d} \!x^{j}}x^{k}=k^{\underline {j}}x^{k-j}}$

Literatur

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0084-8.
• Volker Diekert, Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: Elemente der diskreten Mathematik. Zahlen und Zählen, Graphen und Verbände. De Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-027767-8.
• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete mathematics. A foundation for computer science. Second edition. Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-55802-9.