Graßmann-Zahl

Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität ${\displaystyle P=0}$) und nicht-kommutierenden (Parität ${\displaystyle P=1}$) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente ${\displaystyle A,B}$:

${\displaystyle A\,B=(-)^{P_{A}\cdot P_{B}}B\,A}$.

Eigenschaften

Seien ${\displaystyle \zeta ,\eta ,\theta }$ Graßmann-Zahlen und ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }$ komplexe Zahlen. Dann gilt

Definitorische Eigenschaften

• Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
  ${\displaystyle \eta \theta =-\theta \eta }$
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
  ${\displaystyle \eta +\theta =\theta +\eta }$
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
  ${\displaystyle a\eta =\eta a}$
• Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation
  ${\displaystyle (\eta +\theta )+\zeta =\eta +(\theta +\zeta )}$
  ${\displaystyle (\eta \theta )\zeta =\eta (\theta \zeta )}$
• Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
  ${\displaystyle a(\eta +\theta )=a\eta +a\theta }$
  ${\displaystyle \eta (\theta +\zeta )=\eta \theta +\eta \zeta }$
  ${\displaystyle \eta (a+b)=a\eta +b\eta }$

Folgerungen

• Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle \zeta (\eta +\theta )=-(\eta +\theta )\zeta }$
• Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle (a\eta )\theta =-\theta (a\eta )}$
• Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle (\zeta \eta )\theta =-\zeta \theta \eta =\theta (\zeta \eta )}$
• Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
  ${\displaystyle \theta ^{2}=\theta \theta =-\theta \theta =0}$
• Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:
  ${\displaystyle f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta }$
  So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(\theta )=1+\theta }$.

Integration und Differentiation

Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:

• Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei ${\displaystyle f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta }$. Dann ist:
  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}=b+d\theta }$
  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \theta }}=c-d\eta }$
• Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
  • ${\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {\,} d\theta \in \mathbb {C} }$
  • ${\displaystyle \int (af(\theta )+bg(\theta )\,\mathrm {)} d\theta =a\int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta +b\int g(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$
• Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
  ${\displaystyle \int \theta \,\mathrm {d} \theta =1}$
  ${\displaystyle \int 1\,\mathrm {d} \theta =0}$

Anwendung

Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional

${\displaystyle {\mathcal {Z}}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\exp \left(-\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}(\psi ,{\bar {\psi }})+\eta {\bar {\psi }}+\psi {\bar {\eta }}\right)\right)}$

mit der Lagrangedichte für Fermionen ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern ${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$ und den Graßmann-Zahlen ${\displaystyle \eta ,{\bar {\eta }}}$. Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):

${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\,\psi (x){\bar {\psi }}(y){\mathcal {Z}}}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}={\frac {1}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}|_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}}\left({\frac {-\mathrm {i} \delta }{\delta {\bar {\eta }}(x)}}\right)\left({\frac {\mathrm {i} \delta }{\delta \eta (y)}}\right){\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}$

Formale mathematische Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$ und

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V}$

die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über ${\displaystyle V}$, wobei ${\displaystyle \wedge }$ das äußere Produkt und ${\displaystyle \oplus }$ die direkte Summe bezeichnet.

Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.

Das Symbol ${\displaystyle \wedge }$ wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.

Graßmann-Zahlen sind also von der Form

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

für streng wachsende ${\displaystyle k}$-Tupel ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$ mit ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$, und komplexe antisymmetrische Tensoren ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ vom Rang ${\displaystyle k}$.

Der Spezialfall ${\displaystyle n=1}$ entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.

Für unendlich-dimensionale Vektorräume ${\displaystyle V}$ bricht die Reihe

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots }$

nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

wobei dann ${\displaystyle z_{B}}$ als Körper und ${\displaystyle z_{S}}$ als Seele der Superzahl ${\displaystyle z}$ bezeichnet wird.

Literatur

• Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.

Weblinks

• Varilly: Graßmann Numbers in Quantum Mechanics