Komplexes Maß

Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu, d. h.

\mu :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C}

für ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ .

Definition

Sei $\Omega$ eine nichtleere Menge und ${\mathcal {C}}\subseteq 2^{\Omega }$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $\Omega$ mit $\emptyset \in {\mathcal {C}}$ .

Eine Mengenfunktion $\nu$ von ${\mathcal {C}}$ in die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ heißt komplexes Maß, wenn

\nu (\emptyset )=0

und für jede disjunkte Familie $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ mit $A_{i}\in {\mathcal {C}}$ und $\textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {C}}$

\nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})

gilt, wobei die Reihe $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})$ absolut konvergieren muss, das heißt $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|\nu (A_{i})|<\infty$ . Letztere Eigenschaft wird auch als $\sigma$ -Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem ${\mathcal {C}}$ eine σ-Algebra, dann ist $\textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ immer in ${\mathcal {C}}$ enthalten.

Eigenschaften

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.