Magisches Sechseck

Ein magisches Sechseck ist eine sechseckige Anordnung von Zahlen, bei der die Summen aller Reihen in den drei Richtungen jeweils den gleichen Wert ergeben. Insbesondere geht es darum, analog zum magischen Quadrat die ganzen Zahlen, beginnend ab 1, so in dem Sechseck anzuordnen, dass die Summen aller Reihen gleich sind. Abgesehen vom trivialen Fall $n=1$ , in dem das Sechseck nur aus einer Zahl besteht, ist dies nur bei der Seitenlänge $n=3$ möglich.

Aufgabenstellung

Ein Sechseck mit der Seitenlänge $n$ enthält $H=3n^{2}-3n+1$ Zahlen und je Richtung $r=2n-1$ Reihen. Die identische Summe jeder Reihe wird magische Zahl $M$ genannt. Für die unbekannten Zahlen des Sechsecks und die magische Zahl kann damit ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden. Lässt man beliebige ganze Zahlen als Lösung zu, ist das Gleichungssystem immer lösbar, aber nicht eindeutig.

Als Einschränkung wird gefordert, dass die Lösungszahlen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind. Insbesondere wird eine Lösung mit den natürlichen Zahlen ab 1 gesucht. Lösungen, die durch Drehungen und Spiegelungen des Sechsecks ineinander überführt werden können, werden dabei als eine Lösung gezählt.

Lösung mit den natürlichen Zahlen ab 1

Eine Lösung, bei der die ganzen Zahlen von 1 bis $3n^{2}-3n+1$ in dem Sechseck angeordnet werden, existiert nur für den trivialen Fall $n=1$ und für $n=3$ . Im zweiten Fall hat das Sechseck $H=19$ Felder und die Summe der Zahlen in jeder Reihe ist $M=38$ . Hierfür gibt es genau eine Lösung, die seit Ende des 19. Jahrhunderts mehrfach gefunden wurde.

Um herzuleiten, für welche $n$ Lösungen existieren, wird zunächst die Summe $S$ aller Zahlen des Sechsecks, d. h. der Zahlen von 1 bis $H$ , berechnet. Mit $H=3n^{2}-3n+1={\tfrac {1}{4}}(3r^{2}+1)$ erhält man:

S={\frac {1}{2}}H(H+1)={\frac {1}{32}}(9r^{4}+18r^{2}+5).

Die Summe der Zahlen in einer Reihe ergibt sich, indem man diese Gesamtsumme durch die Anzahl der Reihen teilt:

M=S/r={\frac {1}{32}}(9r^{3}+18r+5/r).

Wird diese Gleichung mit 32 multipliziert:

32M=9r^{3}+18r+5/r,

steht links eine ganze Zahl. Damit auch die rechte Seite ganzzahlig ist, muss ${\tfrac {5}{r}}={\tfrac {5}{2n-1}}$ ganzzahlig sein. Dies ist nur für $n\geq 1$ nur bei $n=1$ oder $n=3$ möglich.

Lösung mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen

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Lässt man beliebige aufeinanderfolgende ganze Lösungszahlen zu, gibt es für $n\geq 3$ generell weitere Lösungen. Für die Summe $M=0$ muss man den Zahlenbereich von $-(3n^{2}-3n)/2$ bis $(3n^{2}-3n)/2$ verwenden. Für andere Summen ergeben sich mit der Abweichung $i$ die folgenden Zahlenbereiche:

kleinste Zahl:	$i(2n-1)-(3n^{2}-3n)/2=ir-(H-1)/2$
größte Zahl:	$i(2n-1)+(3n^{2}-3n)/2=ir+(H-1)/2$
Summe:	$i(3n^{2}-3n+1)=iH$

Eine Formel, die für jedes $n$ das größte und kleinste $i$ abgibt, für das eine Lösung existiert, ist bisher nicht bekannt.

Im Fall $n=2$ gibt es keine Lösung.

Die in obigem Bild dargestellte Lösung für $n=3$ entspricht dem Wert $i=2$ . Außerdem gibt es bei $n=3$ für diese Zahlenbereiche Lösungen:

001 bis 19 mit der Summe 038: 01 Lösung
0−4 bis 14 mit der Summe 019: 36 Lösungen
0−9 bis 09 mit der Summe 000: 26 Lösungen; davon lassen sich 14 Lösungen durch komplette Vorzeichenänderung ineinander überführen; bei den restlichen 12 entspricht eine komplette Vorzeichenänderung einer Drehung um 180 Grad. Daraus ergeben sich 12+7*2(=26) Lösungen.
−14 bis 04 mit der Summe −19: 36 Lösungen (alle Vorzeichen gegenüber Lösung mit Summe 19 geändert)
−19 bis −1 mit der Summe −38: 01 Lösung (alle Vorzeichen gegenüber Lösung mit Summe 38 geändert)