Meissel-Mertens-Konstante

Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen ∑ p ∈ P n 1 p {\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}} unbeschränkt (hierbei beschreibt P {\displaystyle \mathbb {P} } die Menge aller Primzahlen). D. h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ⁡ n ) , M := lim n → ∞ ( ∑ p ∈ P p ≤ n 1 p − ln ⁡ ( ln ⁡ n ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right),\qquad M:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{{p\in \mathbb {P} } \atop {p\leq n}}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)}

Hierbei ist γ {\displaystyle \gamma } die Euler-Mascheroni-Konstante und M {\displaystyle M} die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus ln ⁡ ( ln ⁡ n )   {\displaystyle \ln(\ln n)\ } . Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

M = γ + ∑ p ∈ P [ ln ⁡ ( 1 − 1 p ) + 1 p ] {\displaystyle M=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]}
M = γ + ∑ k = 2 ∞ μ ( k ) k ln ⁡ ( ζ ( k ) ) {\displaystyle M=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\ln {\bigg (}\zeta (k){\bigg )}}

Hierbei ist μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} die Möbiusfunktion und ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

M = 0,261 49 72128 47642 78375 54268 38608 69585 90515 66648 26119 … {\displaystyle M=0{,}26149\;72128\;47642\;78375\;54268\;38608\;69585\;90515\;66648\;26119\ldots } (Folge A077761 in OEIS)

Literatur

  • Franz Mertens: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 78, 1874, S. 46–62 (GDZ)

Weblinks

  • Eric W. Weisstein: Mertens Constant. In: MathWorld (englisch).
  • Folge A096167 in OEIS (Engel-Entwicklung von M)