Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung ⋅ {\displaystyle \cdot } auf einer Menge X {\displaystyle X} erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle a , b , c ∈ X {\displaystyle a,b,c\in X} die Gleichungen

(M1) ( a ⋅ ( b ⋅ a ) ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ ( a ⋅ c ) ) {\displaystyle {\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}

und

(M2) ( a ⋅ b ) ⋅ ( c ⋅ a ) = a ⋅ ( ( b ⋅ c ) ⋅ a ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot a{\Big )}}

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

(M1') ( ( a ⋅ b ) ⋅ c ) ⋅ b = a ⋅ ( b ⋅ ( c ⋅ b ) ) {\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}}

und

(M2') ( a ⋅ b ) ⋅ ( c ⋅ a ) = ( a ⋅ ( b ⋅ c ) ) ⋅ a {\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (b\cdot c){\Big )}\cdot a}

In einer Quasigruppe ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

Bezug zu anderen Formen der Assoziativität

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} mit einem neutralen Element 1 {\displaystyle 1} die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung ⋅ {\displaystyle \cdot }

( a ⋅ a ) ⋅ c = ( a ⋅ ( 1 ⋅ a ) ) ⋅ c = a ⋅ ( 1 ⋅ ( a ⋅ c ) ) = a ⋅ ( a ⋅ c ) {\displaystyle (a\cdot a)\cdot c={\Big (}a\cdot (1\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}1\cdot (a\cdot c){\Big )}=a\cdot (a\cdot c)}
( a ⋅ b ) ⋅ a = ( a ⋅ b ) ⋅ ( 1 ⋅ a ) = a ⋅ ( ( b ⋅ 1 ) ⋅ a ) = a ⋅ ( b ⋅ a ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot a=(a\cdot b)\cdot (1\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot 1)\cdot a{\Big )}=a\cdot (b\cdot a)}

Gelten in ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} mit einem neutralen Element 1 {\displaystyle 1} jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung ⋅ {\displaystyle \cdot }

( a ⋅ b ) ⋅ b = ( ( a ⋅ b ) ⋅ 1 ) ⋅ b = a ⋅ ( b ⋅ ( 1 ⋅ b ) ) = a ⋅ ( b ⋅ b ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot b={\Big (}(a\cdot b)\cdot 1{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (1\cdot b){\Big )}=a\cdot (b\cdot b)}
a ⋅ ( a ⋅ b ) = ( a ⋅ 1 ) ⋅ ( c ⋅ a ) = ( a ⋅ ( 1 ⋅ c ) ) ⋅ a = ( a ⋅ b ) ⋅ a {\displaystyle a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot 1)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (1\cdot c){\Big )}\cdot a=(a\cdot b)\cdot a}

In einem flexiblen Magma ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} , in dem für die Verknüpfung ⋅ {\displaystyle \cdot } also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

(M3, folgt aus M1) ( ( a ⋅ b ) ⋅ a ) ⋅ c = ( a ⋅ ( b ⋅ a ) ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ ( a ⋅ c ) ) {\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot a{\Big )}\cdot c={\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}
(M3', folgt aus M1') ( ( a ⋅ b ) ⋅ c ) ⋅ b = a ⋅ ( b ⋅ ( c ⋅ b ) ) = a ⋅ ( ( b ⋅ c ) ⋅ b ) {\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot b{\Big )}}

Literatur

  • John Horton Conway, Derek Smith: On Quaternions and Octonions Hardcover, 2003, ISBN 1568811349, insbesondere S. 88
  • Kenneth Kunen: Moufang quasigroups, Journal of Algebra, Vol. 183, Issue 1, 1996, Seiten 231–234
  • Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann., Vol. 110, 1935, Seiten 416–430