Ramanujan-Nagell-Gleichung

In der Zahlentheorie ist die Ramanujan-Nagell-Gleichung eine Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}+7=2^{n}}$ mit positiven ganzzahligen Lösungen ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Mitunter wird diese Gleichung auch in der Form ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$ angegeben.

Diese Gleichung ist ein Beispiel für eine exponentielle diophantische Gleichung. Sie wurde nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan und dem norwegischen Mathematiker Trygve Nagell benannt.

Lösungen der Gleichung

Die einzigen fünf ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+7=2^{n}}$ lauten:

${\displaystyle (x,n)=(1,3)}$, also ${\displaystyle 1^{2}+7=2^{3}}$

${\displaystyle (x,n)=(3,4)}$, also ${\displaystyle 3^{2}+7=2^{4}}$

${\displaystyle (x,n)=(5,5)}$, also ${\displaystyle 5^{2}+7=2^{5}}$

${\displaystyle (x,n)=(11,7)}$, also ${\displaystyle 11^{2}+7=2^{7}}$

${\displaystyle (x,n)=(181,15)}$, also ${\displaystyle 181^{2}+7=2^{15}}$

Diese fünf Lösungen wurden erstmals von Ramanujan im Jahr 1913 erwähnt. Er hat außerdem vermutet, dass diese fünf Lösungen die einzigen ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung sind.^[1] Unabhängig davon kam auch der norwegische Mathematiker Wilhelm Ljunggren im Jahr 1943 auf diese Vermutung.^[2] Einen Beweis dieser Vermutung konnte aber erst Nagell im Jahr 1948 liefern.^[3][4][5]

Ramanujan-Nagell-Zahlen

Eine Mersenne-Zahl, die gleichzeitig eine Dreieckszahl ist, nennt man Ramanujan-Nagell-Zahl. Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{b}-1}$, eine Dreieckszahl eine Zahl der Form ${\displaystyle {\frac {y\cdot (y+1)}{2}}}$. Wenn man alle Mersenne-Zahlen berechnen will, die auch gleichzeitig Dreieckszahlen sind (auf Englisch auch triangular Mersenne numbers), muss man folgende Gleichung lösen:

${\displaystyle 2^{b}-1={\frac {y\cdot (y+1)}{2}}}$

Formt man diese Gleichung etwas um, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{b}-1&=&{\frac {y\cdot (y+1)}{2}}\\8\cdot (2^{b}-1)&=&4\cdot y\cdot (y+1)\\2^{b+3}-8&=&4y^{2}+4y\\2^{b+3}-7&=&4y^{2}+4y+1\\2^{b+3}-7&=&(2y+1)^{2}\end{aligned}}}$

Setzt man nun ${\displaystyle n:=b+3}$ und ${\displaystyle x:=2y+1}$, so erhält man die Ramanujan-Nagell-Gleichung ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$. Da man schon weiß, dass diese Gleichung nur fünf Lösungen ${\displaystyle (n,x)\in \{(3,1),(4,3),(5,5),(7,11),(15,181)\}}$ hat, kann man die dazugehörigen ${\displaystyle b=n-3}$ und ${\displaystyle y={\frac {x-1}{2}}}$ berechnen: ${\displaystyle (b,y)\in \{(0,0),(1,1),(2,2),(4,5),(12,90)\}}$ Die dazugehörigen Mersenne-Zahlen ${\displaystyle 2^{b}-1}$ lauten also:

${\displaystyle 2^{0}-1=0,\quad }$ ${\displaystyle 2^{1}-1=1,\quad }$ ${\displaystyle 2^{2}-1=3,\quad }$ ${\displaystyle 2^{4}-1=15\quad }$ und ${\displaystyle 2^{12}-1=4095}$

Die folgenden fünf Mersenne-Zahlen sind also gleichzeitig Dreieckszahlen und somit die einzigen Ramanujan-Nagell-Zahlen:

0, 1, 3, 15, 4095 (Folge A076046 in OEIS)

Es gibt keine weiteren Mersenne-Zahlen, die gleichzeitig Dreieckszahlen sind.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen der Ramanujan-Nagell-Gleichung haben die Form

${\displaystyle x^{2}+D=A\cdot B^{n}\quad }$ mit vorgegebenen ganzzahligen ${\displaystyle D,A,B\in Z}$ und Variablen ${\displaystyle x,n}$

Man nennt sie auch Gleichungen vom Ramanujan-Nagell-Typ.

Der Mathematiker Carl Ludwig Siegel konnte zeigen, dass die Anzahl der Lösungen ${\displaystyle (x,n)}$ in allen Fällen endlich ist.^[3][6]

Beispiel 1:

Sei ${\displaystyle A:=1}$, ${\displaystyle B:=2}$ und ${\displaystyle D:=7}$. Dann lautet die Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+7=2^{n}}$

Diese Gleichung ergibt umgeformt ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$, was wieder die ursprüngliche Ramanujan-Nagell-Gleichung mit den schon erwähnten fünf Lösungen ist.

Beispiel 2:

Sei ${\displaystyle A:=4}$, ${\displaystyle B:=2}$ und ${\displaystyle D\not =7}$. Dann hat man es mit der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+D=4\cdot 2^{n}}$ zu tun. Mit anderen Worten: Die Gleichung lautet:

${\displaystyle x^{2}+D=2^{n+2}}$ mit ${\displaystyle D\not =7}$

Dieser Gleichungstyp hat immer höchstens zwei Lösungen. Es gibt aber unendlich viele ${\displaystyle D}$, für welche diese Gleichung exakt zwei Lösungen hat. Zum Beispiel seien hier diese zwei Lösungen von bestimmen ${\displaystyle D}$ angegeben:^[7][8]

${\displaystyle (x,n)\in \{(3,5),(45,11)\}}$ für ${\displaystyle D=23}$

${\displaystyle (x,n)\in \{(1,m),(2^{m}-1,2m-1)\}}$ für ${\displaystyle D=2^{m}-1}$, ${\displaystyle m\geq 4}$

Beispiel 3:

Sei ${\displaystyle D:=119}$, ${\displaystyle A:=15}$ und ${\displaystyle B:=2}$. Dann lautet die Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+119=15\cdot 2^{n}}$

Diese Gleichung hat die folgenden sechs Lösungen:^[9]

${\displaystyle (x,n)\in \{(1,3),(11,4),(19,5),(29,6),(61,8),(701,15)\}}$

Gleichungen vom Lebesgue-Nagell-Typ

Eine Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}\quad }$ mit vorgegebenen ganzzahligen ${\displaystyle D,A\in Z}$ und Variablen ${\displaystyle x,y,n}$

nennt man Gleichung vom Lebesgue-Nagell-Typ. Sie wurde nach dem französischen Mathematiker Victor-Amédée Lebesgue benannt, der zeigen konnte, dass die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$

keine Lösung hat mit Ausnahme der folgenden trivialen Lösungen:^[10]

${\displaystyle 0^{2}+1=y^{0}}$, ${\displaystyle \quad 0^{2}+1=1^{n}}$ und ${\displaystyle x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}}$

Zur letzteren trivialen Lösungsschar gehören zum Beispiel ${\displaystyle 1^{2}+1=2^{1}}$ oder ${\displaystyle 7^{2}+1=50^{1}}$.

Beispiel 1:

Die beiden Mathematiker Robert Tijdeman und Tarlok Nath Shorey konnten im Jahr 1986 zeigen, dass die Anzahl der Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$ in jedem Fall endlich ist.^[11]

Beispiel 2:

Die drei Mathematiker Yann Bugeaud, Maurice Mignotte und Samir Siksek lösten im Jahr 2006 Gleichungen dieses Typs für ${\displaystyle A=1}$ und ${\displaystyle 1\leq D\leq 100}$.^[12]

Sie konnten im Speziellen zeigen, dass die Verallgemeinerung der Ramanujan-Nagell-Gleichung

${\displaystyle x^{2}+7=y^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 3}$

nur die fünf positiven ganzzahligen Lösungen ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(1,2,3),(3,2,4),(5,2,5),(11,2,7),(181,2,15)\}}$ hat.

Für ${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$ hat diese Gleichung noch die triviale Lösung ${\displaystyle 0^{2}+7=7^{1}}$, also ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(0,7,1)\}}$.

Lösungen dieser Gleichung wie zum Beispiel ${\displaystyle 1^{2}+7=8^{1}}$ oder ${\displaystyle 3^{2}+7=4^{2}}$ kann man umformen auf ${\displaystyle 1^{2}+7=2^{3}}$ bzw. ${\displaystyle 3^{2}+7=2^{4}}$, was wiederum auf die schon bekannten Lösungen ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(1,2,3),(3,2,4)\}}$ führt.

Siehe auch

• Pillai-Vermutung: ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ mit ${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {N} }$ hat nur endliche viele Lösungen.

Weblinks

• Kalyan Chakraborty, Azizul Hoque, Richa Sharma: Complete solutions of certain Lebesgue-Ramanujan-Nagell Type equations. 28. September 2019, S. 1–16, abgerufen am 11. Januar 2020. 
• Fadwa S. Abu Muriefah, Yann Bugeaud: The Diophantine equation x² + c = y ⁿ : a brief overview. Revista Colombiana de Matemáticas 40, 2006, S. 31–37, abgerufen am 11. Januar 2020. 

Einzelnachweise

1. ↑ Srinivasa Ramanujan: Question 446, J. Indian Math. Soc. 5 (1913), 120, Collected papers, Cambridge University Press (1927), S. 327
2. ↑ Wilhelm Ljunggren: Oppgave nr 2, Norske Mat. Tidsskrift 25 (1943), S. 29 (norwegisch)
3. ↑ ^{a b} N. Saradha, Anitha Srinivasan: Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell Equations. Diophantine Equations, 2008, S. 207–223, abgerufen am 11. Januar 2020. 
4. ↑ Attila Bérczes, István Pink: On generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations. Analele Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica 22 (1), 10. Januar 2014, S. 51–71, abgerufen am 11. Januar 2020. 
5. ↑ Trygve Nagell: The Diophantine equation x²+7=2ⁿ. Ark. Math. 4 (13), 13. Januar 1960, S. 185–187, abgerufen am 11. Januar 2020. 
6. ↑ Carl Ludwig Siegel: Approximation algebraischer Zahlen. Satz 7 auf S. 204. Math. Zeit. 10, 1921, S. 173–213, abgerufen am 11. Januar 2020. 
7. ↑ Roger Apéry: Sur une èquation diophantienne, C.R. Acad. Sci. Paris Sér. A 251 (1960), S. 1263–1264 und S. 1451–1452 (französisch)
8. ↑ N. Saradha, Anitha Srinivasan: Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell Equations. Abschnitt (2.3) auf S. 2 (=S. 208). Diophantine Equations, 2008, S. 207–223, abgerufen am 11. Januar 2020. 
9. ↑ N. Saradha, Anitha Srinivasan: Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell Equations. Aussage vor Proposition 2.1, S. 4f. Diophantine Equations, 2008, S. 207–223, abgerufen am 11. Januar 2020. 
10. ↑ Victor-Amédée Lebesgue: Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x^m=y²+1. Nouvelles Annales de Mathématiques (1) 9, 1850, S. 178–181, abgerufen am 11. Januar 2020 (französisch). 
11. ↑ Tarlok Nath Shorey, Robert Tijdeman: Exponential Diophantine equations, Theorem 10.6, Cambridge Tracts in Mathematics 87, Cambridge University Press, Cambridge, 1986
12. ↑ Yann Bugeaud, Maurice Mignotte, Samir Siksek: Classical and modular approaches to exponential and Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation. Theorem 1. Compos. Math. 142 (1), Januar 2006, S. 31–62, abgerufen am 11. Januar 2020.