Smarandache-Konstanten

In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext

Bezeichnet ${\displaystyle p_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1.}$ Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern: ${\displaystyle p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \;a<a_{0}.}$ Diese Obergrenze für ${\displaystyle a_{0}}$, ungefähr ${\displaystyle 0{,}56714813...}$, wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. ${\displaystyle a_{0}}$ ist Lösung der Gleichung ${\displaystyle p_{31}^{x}-p_{30}^{x}=127^{x}-113^{x}=1}$.

2.

Die Smarandache-Funktion ${\displaystyle \mu (n)}$ ist wie folgt definiert: ${\displaystyle \mu (n)}$ ist die kleinste natürliche Zahl, für die ${\displaystyle \mu (n)!}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert ${\displaystyle \mu (8)}$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist ${\displaystyle \mu (8)=4}$. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

${\displaystyle s_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}093170459...}$

Deren Konvergenz ist mit ${\displaystyle \mu (n)\leq n}$ und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\mu (n)!}}<\sum {\frac {1}{n!}}=e}$.

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

${\displaystyle s_{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n!}}=1{,}7140062935916...}$

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

${\displaystyle s_{3}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}=0{,}7199607000437...}$

Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha \geq 1}$:

${\displaystyle s_{4}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}}$

Die ersten Werte für natürliche ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle S_{4}(\alpha )}$
1	1,7287576053...	(Folge A048836 in OEIS)
2	4,5025120061...	(Folge A048837 in OEIS)
3	13,011144194...	(Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

${\displaystyle s_{5}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\mu (n)}{n!}}}$

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

${\displaystyle s_{6}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+1)!}},}$

konvergiert gegen einen Wert ${\displaystyle 0{,}218282<s_{6}<0{,}5}$.

Allgemeiner konvergieren sogar

${\displaystyle s_{7}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+k)!}}\quad {\text{und}}\quad s_{8}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n-k)!}}}$

für natürliche (bzw. ganze) ${\displaystyle k\not =0}$.

Außerdem konvergiert

${\displaystyle s_{9}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{{\frac {\mu (2)}{2!}}+{\frac {\mu (3)}{3!}}+\cdots +{\frac {\mu (n)}{n!}}}}.}$

Zwei weitere Reihen sind

${\displaystyle s_{10}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {\mu (n)!}}}}}$

und

${\displaystyle s_{11}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {(\mu (n)+1)!}}}}}$

Diese konvergieren für alle ${\displaystyle a>1}$.

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ eine Funktion, für die gilt

${\displaystyle f(t)\leq {\frac {c}{t^{\alpha }\cdot d(t!)-d((n-1)!)}}}$

wobei ${\displaystyle t>0}$ natürlich und ${\displaystyle \alpha >1,c>12}$ konstant sein sollen; ${\displaystyle d(n)}$ bezeichne die Anzahl der Teiler von ${\displaystyle n}$. Dann gilt:

${\displaystyle s_{12}(f)=\sum _{n=1}^{\infty }f(\mu (n))}$

ist konvergent.

Außerdem ist auch

${\displaystyle s_{13}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (1)!\cdot \mu (2)!\cdots \mu (n)!}}}$

konvergent, ebenso wie

${\displaystyle s_{14}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!\cdot {\sqrt {\mu (n)!}}\cdot \log \left(\mu (n)\right)^{\alpha }}}}$

für ${\displaystyle \alpha >1}$.

Eine weitere konvergente Reihe ist

${\displaystyle s_{15}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{\mu (2^{n})!}}.}$

Schließlich konvergiert auch

${\displaystyle s_{16}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{\alpha +1}}}}$

für alle ${\displaystyle \alpha >1}$.

Referenzen

Einen Überblick geben

• Eric W. Weisstein: Smarandache Constants. In: MathWorld (englisch).
• Smarandache Function in PlanetMath
• Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT

Detaillierte Arbeiten sind

• I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
• dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.

• E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.

• E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.

• A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor

• J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.