Trigonometrische Höhenmessung

Die trigonometrische Höhenmessung ist eine Methode der Geodäsie, bei der die Höhendifferenz zweier Punkte durch Messung des Vertikalwinkels (Zenitdistanz z bzw. Höhenwinkel h) bestimmt wird. Dazu muss auch die Schrägdistanz s zwischen den Messpunkten bekannt sein. Für kleine Entfernungen – d. h. ohne Einfluss der Refraktion und der Erdkrümmung – beträgt der Höhenunterschied

Δ H = s ⋅ sin ⁡ ( h ) + ( I − Z ) = s ⋅ cos ⁡ ( z ) + ( I − Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta H&=s\cdot \sin(h)+(I-Z)\\&=s\cdot \cos(z)+(I-Z)\end{aligned}}} ,

wobei der Term ( I − Z ) {\displaystyle (I-Z)} die Differenz von Instrumenten- und Zielhöhe über den Bodenpunkten bedeutet.

Ist statt der Schrägdistanz s die Horizontaldistanz s0 gegeben, so ergibt sich der Höhenunterschied mit

Δ H = s 0 ⋅ tan ⁡ ( h ) + ( I − Z ) = s 0 ⋅ cos ⁡ ( z ) + ( I − Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta H&=s_{0}\cdot \tan(h)+(I-Z)\\&=s_{0}\cdot \cos(z)+(I-Z)\end{aligned}}} .

Ab etwa 100 m Entfernung ist die Erdkrümmung zu berücksichtigen, die hier 0,8 mm ausmacht. Sie wird als Korrektion c zu ΔH addiert und wächst quadratisch mit der Distanz:

c = s 0 2 2 R E {\displaystyle c={\frac {s_{0}^{2}}{2R_{\mathrm {E} }}}}

mit dem Erdradius R E = 6370 k m {\displaystyle R_{\mathrm {E} }=6370\,\mathrm {km} } und erreicht für 1 km bereits rund 8 cm.

Meist wird in die Formel auch die terrestrische Refraktion (Strahlenbrechung in der Atmosphäre) berücksichtigt, die den Einfluss der Erdkrümmung um etwa ein Achtel verringert (mittlerer Refraktionskoeffizient k = 0,13):

c ′ = c ⋅ ( 1 − k ) = s 0 2 2 R E ⋅ ( 1 − k ) {\displaystyle {\begin{aligned}c'&=c\cdot (1-k)\\&={\frac {s_{0}^{2}}{2R_{\mathrm {E} }}}\cdot (1-k)\end{aligned}}}

Genauer wird der Höhenunterschied, wenn er von beiden Punkten bestimmt wird. Dann fallen auch einige kleine Fehlerquellen heraus. Für gleichzeitig-gegenseitige Messungen gibt es eigene Formeln, in denen der Einfluss eines von 0,13 abweichenden Refraktionskoeffizienten eliminiert wird.

Literatur

  • Heribert Kahmen: Angewandte Geodäsie – Vermessungskunde. 20. Auflage. Verlag de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 978-3-11-018464-8.
  • Boris Resnik, Ralf Bill: Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich. Wichmann Verlag, 2003, ISBN 3-87907-399-6.