Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren ${\displaystyle (e_{k})_{k=1}^{n}}$ die Identität

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}e_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\|e_{k}\right\|^{2}.}$

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Definition

Sei

• ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ein Banach-Raum,
• ${\displaystyle (\varepsilon _{i})}$ eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt ${\displaystyle P(\varepsilon _{i}=-1)=P(\varepsilon _{i}=1)=1/2}$ sowie ${\displaystyle \mathbb {E} [\varepsilon _{i}\varepsilon _{m}]=0}$ für ${\displaystyle i\neq m}$ (Orthogonalität) und ${\displaystyle \operatorname {Var} [\varepsilon _{i}]=1}$.

Typ

${\displaystyle X}$ ist vom Typ ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle p\in [1,2]}$, falls eine endliche Konstante ${\displaystyle C\geq 1}$ existiert, so dass

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)}$

für alle endlichen Folgen ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}$. Die beste Konstante ${\displaystyle C}$ nennen wir Type-${\displaystyle p}$-Konstante und notieren sie mit ${\displaystyle T_{p}(X)}$.

Kotyp

${\displaystyle X}$ ist vom Kotyp ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle q\in [2,\infty ]}$, falls eine endliche Konstante ${\displaystyle C\geq 1}$ existiert, so dass

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{wenn}}\;2\leq q<\infty }$

respektive

${\displaystyle \mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{wenn}}\;q=\infty }$

für alle endlichen Folgen ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}}$. Die beste Konstante ${\displaystyle C}$ nennen wir Kotyp-${\displaystyle q}$-Konstante und notieren sie mit ${\displaystyle C_{q}(X)}$.^[1]

Erläuterungen

Durch ziehen der ${\displaystyle p}$-ten resp. ${\displaystyle q}$-ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)-${\displaystyle L^{p}}$-Norm.

Eigenschaften

• Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
• Jeder Banach-Raum ist von Typ ${\displaystyle 1}$ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

• ist von Typ ${\displaystyle 2}$ und Kotyp ${\displaystyle 2}$ genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
• der vom Typ ${\displaystyle p}$ ist, ist auch vom Typ ${\displaystyle p'\in [1,p]}$.
• der vom Kotyp ${\displaystyle q}$ ist, ist auch vom Kotyp ${\displaystyle q'\in [q,\infty ]}$.
• der vom Typ ${\displaystyle p}$ (mit ${\displaystyle 1<p\leq 2}$) ist, besitzt einen Dualraum ${\displaystyle X^{*}}$ vom Kotyp ${\displaystyle p^{*}}$, wobei ${\displaystyle p^{*}}$der konjugierte Index ${\displaystyle p^{*}:=(1-1/p)^{-1}}$ ist. Weiter gilt ${\displaystyle C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)}$^[2]

In Banach-Räumen vom Typ ${\displaystyle 2}$ gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.^[3]

Beispiele

• Die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume für ${\displaystyle p\in [1,2]}$ sind vom Typ ${\displaystyle p}$ und vom Kotyp ${\displaystyle 2}$, das heißt ${\displaystyle L^{1}}$ ist vom Typ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle L^{2}}$ ist vom Typ ${\displaystyle 2}$ usw.
• Die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume für ${\displaystyle p\in [2,\infty )}$ sind vom Typ ${\displaystyle 2}$ und vom Kotyp ${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle L^{\infty }}$ ist vom Typ ${\displaystyle 1}$ und vom Kotyp ${\displaystyle \infty }$.^[4]

Literatur

• Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009. 
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984. 
• Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3. 
• M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11. 

Einzelnachweise

1. ↑ Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009. 
2. ↑ Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009. 
3. ↑ Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier: The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem in Banach Spaces. In: Ann. Probab. Band 4, Nr. 4, 1976, S. 587 - 599, doi:10.1214/aop/1176996029. 
4. ↑ M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.