Viswanath-Konstante

Die Viswanath-Konstante (nach Divakar Viswanath) stellt die Basis des asymptotisch exponentiellen Wachstums der zufälligen Fibonacci-Folge dar. Sie ist der Spezialfall ${\displaystyle \beta =1}$ der Embree-Trefethen-Konstante.^[1]

Definition

Die zufällige Fibonacci-Folge startet mit ${\displaystyle f_{1}=1,f_{2}=1}$ und lässt sich weiter wie folgt beschreiben:

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2},{\text{ mit Wahrscheinlichkeit }}1/2\\f_{n-1}-f_{n-2},{\text{ mit Wahrscheinlichkeit }}1/2\end{cases}}}$

Ergebnis

Furstenberg und Kesten konnten 1960 zeigen, dass sich die Wachstumsrate dieser Folge auf 1,1319882487943… beziffern lässt. Das heißt, es gilt fast sicher

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1{,}1319882487943\dots {\text{ für }}n\to \infty }$.

Viswanath gab 1999 einen expliziten Ausdruck für diese Konstante an.^[2]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Random Fibonacci Sequence. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Mark Embree, Lloyd Nicholas Trefethen: Growth and decay of random Fibonacci sequences. (PDF; 381 kB). In: Proceedings of the Royal Society. A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
2. ↑ D. Viswanath: Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824… In: Mathematics of Computation. Band 69, Nr. 231, 1999, S. 1131–1155, doi:10.1090/S0025-5718-99-01145-X.