Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.

Convergencia en distribución

Definición

Se dice que una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}$

para todo punto ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ en el que ${\displaystyle F}$ es continua, donde ${\displaystyle F_{n}}$ y ${\displaystyle F}$ denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias ${\displaystyle X_{n}}$ y ${\displaystyle X}$, respectivamente.

La convergencia en distribución puede indicarse como:

donde ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}$ es la ley (distribución de probabilidad) de X. Por ejemplo, si X es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir ${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}$.

Convergencia en probabilidad

Definición

Una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.}$

Suele indicarse de alguna de estas maneras:

Convergencia casi segura

Definición

Una sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ si

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$

Notación:

Convergencia en ${\displaystyle L^{r}}$

Definición

Dado un número real ${\displaystyle r\geq 1}$, se dice que la sucesión ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ de variables aleatorias reales converge en ${\displaystyle L^{r}}$ a la variable aleatoria ${\displaystyle X}$, si los momentos absolutos ${\displaystyle r}$-ésimos ${\displaystyle {\text{E}}(|X_{n}|^{r})}$ y ${\displaystyle {\text{E}}(|X|^{r})}$ de ${\displaystyle X_{n}}$ y de ${\displaystyle X}$ existen, y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}$

donde el operador ${\displaystyle E}$ denota la esperanza matemática.

Notación: