Distribución multinomial

Multinomial
Parámetros	${\displaystyle n>0}$ número de pruebas (entero) ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ probabilidad de un suceso concreto (${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
Dominio	${\displaystyle X=\left(x_{1},\dots ,x_{k}\right)'\in \mathbb {Z} ^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}\in \{0,\dots ,n\}\ ;\;\Sigma x_{i}=n\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}$
Media	${\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}$
Varianza	${\displaystyle \textstyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}$
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En teoría de probabilidad, la distribución multinomial o distribución multinómica es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ (tal que ${\displaystyle p_{i}\geq 0}$ para i entre 1 y K y ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria ${\displaystyle X_{i}}$, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector ${\displaystyle X=(X_{1},...,X_{k})}$ sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde ${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{k})}$.

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

Especificación

Función de probabilidad

La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})\\\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{cuando }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{En otros casos,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Para enteros no negativos x₁, ..., x_k.

Propiedades

La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.\,}$

La varianza es:

${\displaystyle \operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).\,}$