Fibración de Hopf

En la rama de las matemáticas denominada topología, la fibración de Hopf (también denominada el haz de Hopf o mapa de Hopf) describe una 3-esfera (una hiperesfera en el espacio de cuatro dimensiones) mediante circunferencias y una esfera ordinaria. Descubierta en 1931 por Heinz Hopf, es un ejemplo inicial importante de un haz de fibras. Técnicamente, Hopf descubrió una función continua (o "mapa") de varios a uno de la 3-esfera en la 2-esfera tal que cada punto en particular de la 2-esfera proviene de una circunferencia específica de la 3-esfera (Hopf, 1931). Por lo tanto la 3-esfera se compone de fibras, donde cada fibra es una circunferencia — uno para cada punto de la 2-esfera.

Esta estructura de haz de fibras queda expresada mediante la expresión

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

que significa que el espacio de fibra S¹ (un círculo) se encuentra encajado en el espacio total S³ (la 3-esfera), y p: S³→S² (Mapa de Hopf) proyecta S³ en el espacio base S² (la 2-esfera ordinaria). La fibración de Hopf, al igual que todo haz de fibras, posee la propiedad que es un producto espacial local. Sin embargo es un haz de fibras no trivial, o sea S³ no es en sentido global un producto de S² y S¹ aunque a nivel local es indistinguible de este. Existen numerosas generalizaciones de la fibración de Hopf. La esfera unidad en Cⁿ⁺¹ se fibra naturalmente en CPⁿ con circunferencias como fibras, existen también versiones de estas fibraciones reales, cuaterniónicas, y octoniónicas. En particular, la fibraciónn de Hopf corresponde a una familia de cuatro haces de fibras en los cuales el espacio total, el espacio base, y el espacio fibra son todos esferas:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},\,\!}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},\,\!}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},\,\!}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.\,\!}$

Según establece el teorema de Adams estas fibraciones solo pueden presentarse en estas dimensiones.

La fibración de Hopf es importante en el ámbito de la teoría de twistores.

Construcción

Identificamos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ con ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, entonces, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\{(z_{1},z_{2}):z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} {\text{ y }}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=1\}}$. Consideramos ${\displaystyle F:\mathbb {S} ^{3}\longrightarrow \mathbb {CP} ^{1}}$. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ se puede identificar con ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.

${\displaystyle F}$ es una submersión y, por tanto, ${\displaystyle F}$ induce una foliación en ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ cuyas hojas vienen definidas por ${\displaystyle F^{-1}([w_{1}:w_{2}])}$ con ${\displaystyle [w_{1}:w_{2}]\in \mathbb {CP} ^{1}}$. Es decir, ${\displaystyle F^{-1}([w_{1}:w_{2}])=\{(z_{1},z_{2}):F(z_{1},z_{2})=[w_{1}:w_{2}]\}=\{(e^{i\theta }w_{1},e^{i\theta }w_{2})\}\simeq \mathbb {S} ^{1}}$. Por tanto, ${\displaystyle F}$ determina una foliación cuyas hojas son isomorfas a ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.

Referencias

• Cayley, Arthur (1845), «On certain results relating to quaternions», Philosophical Magazine 26: 141-145 .; reprinted as article 20 in Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I, (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 123-126 .
• Hopf, Heinz (1931), «Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen (Berlin: Springer) 104 (1): 637-665, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01457962 .
• Hopf, Heinz (1935), «Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension», Fundamenta Mathematicae (Warsaw: Polish Acad. Sci.) 25: 427-440, ISSN 0016-2736 .
• Lyons, David W. (abril de 2003), «An Elementary Introduction to the Hopf Fibration» (PDF), Mathematics Magazine 76 (2): 87-98, ISSN 0025-570X, JSTOR 3219300, doi:10.2307/3219300 .
• Mosseri, R.; Dandoloff, R. (2001), «Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (47): 10243-10252, arXiv:quant-ph/0108137, doi:10.1088/0305-4470/34/47/324 ..
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, PMS 14, Princeton University Press (publicado el 1999), ISBN 978-0-691-00548-5 .
• Urbantke, H.K. (2003), «The Hopf fibration-seven times in physics», Journal of Geometry and Physics 46 (2): 125-150, doi:10.1016/S0393-0440(02)00121-3 ..

Enlaces externos

• Dimensions Math Chapters 7 and 8 illustrate the Hopf fibration with animated computer graphics.
• YouTube animation of the construction of the 120-cell Por Gian Marco Todesco muestra la fibración de Hopf de la 120-celda.