Bigarren mailako ekuazio

Matematikan, aldagai bakarreko bigarren mailako ekuazioa edo ekuazio koadratikoa ^[2], era osoan, honela adierazten den aldagai bakarreko ekuazio polinomiko bat da^[3]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\;}$

Ekuazioa ebaztean, ezezaguna den x aldagaiaren balioa zehaztea da helburua, hau da, ekuazioaren erroak edo soluzioak ateratzea, a, b eta c zenbakizko konstanteak izanik. Konstante hauei koefiziente deritze. Definizioz, bigarren mailako ekuazioan a ≠ 0 bete behar da, bestela lehenengo mailako ekuazio bat izango bailitzateke. a=1 betetzen denean, x²+bx+c=0 ekuazioetan alegia, ekuazio koadratikoa monikoa dela esaten da ^[4].

Bigarren mailako ekuazio osatugabeak ere badaude ^[5], baina agertzen ez diren koefizienteak 0 bihurtuz aise aldatzen dira adierazpen orokorrera:

${\displaystyle ax^{2}+c=0\;}$

${\displaystyle ax^{2}+bx=0\;}$

${\displaystyle ax^{2}=0\;}$

Bigarren mailako ekuazioek aplikazio zabalak dituzte zientzian, hala-nola fisikan, azeleraziozko mugimenduen aztertzeko ^[3].

Ebazpena

Bigarren mailako ekuazio osoaren ebazpen edo soluzioa formula honek ematen du:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ,

"±" ikurraren bitartez bi balio hauek soluzio direla adierazten da:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

eta

${\displaystyle \ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle b^{2}-4ac=0\,}$ betetzen denean, aurreko bi soluzioak berdinak dira: ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\,}$.

Geometria

Bigarren mailako ekuazioaren soluzioak a, b eta c zenbaki errealak badira funtzio koadratikoaren zeroak dira, aipaturiko funtzioak 0 balioa hartzen dueneko x puntuak alegia:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\ \ ;\ \ f(x)=0\,}$

Diskriminatzailea

Diskriminatzailea honako adierazpen honen balioa da (delta izeneko letra maiuskula grekoaz adierazten da):

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$

Bigarren mailako ekuazio batek, koefizienteak zenbaki errealak izanik, soluzio erreal bat edo bi izan dezake ala bi erroak irudikari edo konplexuak dira. Erro edo soluzioen kopurua eta izaera diskriminatzaileak hartzen duen balioa aztertuz jakiten da ^[6] :

• Diskriminatzailea positiboa bada, bi soluzioak zenbaki erreal dira. Diskriminatzailea zenbaki karratu edo karratu perfektua bada, bi soluzioak zenbaki arrazionalak direla egiaztatzen da.
• Diskriminatzailea 0 bada, soluzioa bakarra da eta gainera zenbaki erreala: ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}\,}$.
• Diskriminatzailea negatiboa bada, ez dago erro errealik eta bi soluzioak zenbaki konplexuak dira eta bata bestearen zenbaki konplexu konjugatu dira.

Ebazpena osatu gabeko ekuazioetan

Ebazpen orokorrak baliozkoa da osatu gabeko ekuazioetarako, agertzen ez diren koefizienteak 0 bihurtuz. Dena den, ekuazio hauetarako ebazpen bereziak ere eman daitezke ^[7]:

• ${\displaystyle ax^{2}+c=0\;}$ motako ekuazioaren erroak hauek dira:

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a}}}.\,}$

• ${\displaystyle ax^{2}+bx=0\;}$ motako ekuazioaren erroak hauek dira:

${\displaystyle x=0\ ,\ x={\frac {-b}{a}}.\,}$

• ${\displaystyle ax^{2}=0\;}$ motako ekuazioaren erroa hau da: ${\displaystyle x=0\,}$.

Faktorizazioa

Bigarren mailako ekuazio bat ebatzita, bi soluzioak hartzen badira (ikus Ebazpena, artikulu honetan bertan), honela faktoriza daiteke ekuazioa:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)=0}$

Soluzioa bakarra bada, honela faktorizatzen da:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=0}$

Osatu gabeko ekuazioak honela faktorizatzen dira:

• ${\displaystyle ax^{2}+c=\left(x-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}\right)\left(x+{\sqrt {\frac {-c}{a}}}\right),}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx=x(x+{\frac {b}{a}})\;,}$
• ${\displaystyle ax^{2}=ax\cdot x=0\;.}$

Maila handiagoko ekuazioak

${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=0\,}$ motako ekuazioak ${\displaystyle (n=2,3,\ldots )\,}$ bigarren mailako ekuazioen ebazpena erabiliz ebaz daitezke, ${\displaystyle u=x^{n}\,}$ aldagai aldaketa baten bitartez. Adibidez, ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,}$ ekuazio bikoadratikoa honela ebazten da^[3]:

${\displaystyle u=x^{2}\,\rightarrow au^{2}+bu+c=0}$

Bigarren mailako ekuazioko ${\displaystyle u\,}$ askatuz:

${\displaystyle u={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Eta aldagai aldaketa deseginez:

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {u}}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}$

Hori horrela, ekuazio bikoadratikoak lau soluzio ezberdin ditu.

Ekuazio irrazionalak

Ekuazio irrazionaletan ezezaguna errokizun baten barnean agertzen da, besteak beste. Batzuetan, berreketak eginez, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da^[3]. Adibidez,

${\displaystyle ax+n{\sqrt {bx+c}}=d}$

Erroketa isolatuz eta karratua kalkulatuz, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da:

${\displaystyle (n{\sqrt {bx+c}})^{2}=(d-ax)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}x^{2}-(2da-n^{2}b)x+(d^{2}-cn^{2})=0\,}$

Ebazpena ohizko formulaz egiten da.

Ebazpen metodoak

Karratuaren osaketa

Karratuaren osaketa delako teknika aljebraikoaz, ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$ trinomioa ${\displaystyle (x-m)^{2}+n\,}$ erako adierazpenaz ordezten da. Horrela, ${\displaystyle x\,}$ ezezaguna aise bakantzen da.

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ekuaziotik abiatuz, a koefizienteaz zatitzen da lehendabizi:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$

• Trinomio karratu perfektoa sortzeko ezker aldean, ${\displaystyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}$ konstantea gehitzen ekuazioaren alde bietan:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

• Erro karratua hartuz alde bietan eta gaiak lekuz aldatuz, ekuazioaren soluziora heltzen da:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}$

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {(2a)^{2}}}}}$

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Koefizienteen eta erroen arteko erlazioak

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ekuazioko ${\displaystyle a,\ b,\ c\,}$ koefizienteen eta ekuazioaren ${\displaystyle x_{1},\ x_{2}\,}$ erro edo soluzioen artean berdintza erlazio hauek egiaztatzen dira, Vièteren formulei esker:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad \quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

Erlazio hauek honela froga daitezke:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-ax(x_{1}+x_{2})+ax_{1}x_{2}\,}$

Beraz,

${\displaystyle -a(x_{1}+x_{2})=b\quad ;\quad ax_{1}x_{2}=c}$

Eta, azkenik,

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad ;\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

Ebazpenerako formula alternatibo bat

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ ekuazioa ${\displaystyle x^{2}\,}$ monomioaz zatituz hasiera batean, ebazpenerako beste formula bat lortzen da, karratuaren osaketa garatuz:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\c{\frac {1}{x^{2}}}+b{\frac {1}{x}}+a&=0\\c\left({\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}-c{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}+a&=0\\c\left({\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4c}}\\{\frac {1}{x}}+{\frac {b}{2c}}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4c^{2}}}}\\{\frac {1}{x}}&=-{\frac {b}{2c}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Eta azken berdintzatik bigarren mailako ekuazioaren erroen formula alternatiboa lortzen da:

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$.

Ariketak

• Bigarren mailako ekuazioak
• Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• Bigarren mailako ekuazioak ulertzeko bideoa.
• Bigarren mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
• Bigarren mailako ekuazioaren soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: erpina.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: Erpina II.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: ©.
• Bigarren mailako funtzioak irudikapen grafikoa: ebakitze puntua..

Erreferentziak

Kanpo estekak

• Datuak: Q41299
• Multimedia: Quadratic equation / Q41299