Bijekzio

Matematikan, bijekzioa edo funtzio bijektiboa ${\displaystyle f\colon X\to Y\,}$ funtzio bat da, aldi berean injektiboa eta supraiektiboa dena; hau da, X multzoko elementu bakoitzari Y multzoko elementu bat dagokio, eta Y multzoko edozein y elementuri y = f(x) funtzioa beteko duen X multzoko x elementu bakarra dagokio.

Formalki,

${\displaystyle \forall y\in Y:\exists !\ x\in X,\ f(x)=y}$

Aurrekoaren ondorio zuzena hau da: funtzio bijektibo batean abiaburu-multzoko edo Definizio-eremuaren kardinalitatea, eta helburu-multzoarena edo irudi-multzoarena, berbera da. Hori adibidean ikus daiteke, non |X|=|Y|=4 den.

Teorema

${\displaystyle f\,}$ funtzio bijektiboa bada, orduan bere alderantzizko funtzioa ${\displaystyle f^{-1}\,}$ ere bijektiboa da.

Adibidea

Funtzio hau:

${\displaystyle f(x)=6x+9\,}$

bijektiboa da.

Orduan, bere alderantzizkoa:

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y-9}{6}}\,}$

ere bada bijektiboa.^[1]

Diagrama honetan ikus daiteke noiz den bijektiboa funtzio bat:

Funtzioak	Injektiboa	Ez injektiboa
Supraiektiboa	Bijektiboa
Ez supraiektiboa

Konposaketa

Bi funtzio ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ eta ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ bijektiboen konposaketa ${\displaystyle f\circ g}$ bijektiboa izango da ere bai. Bere alderantzizkoa ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$ izango litzateke.

Adibideak

• Edozein X multzorako, identitate funtzioa bijektiboa da.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=2x+1}$ funtzioa bijektiboa da, ${\displaystyle y}$ bakoitzerako ${\displaystyle x=(y-1)/2}$ bakarra baitago. Orokorrean, edozein funtzio lineal ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=ax+b}$ (non ${\displaystyle a\neq 0}$ den) funtzio bijektiboa da, ${\displaystyle y}$ zenbaki erreal bakoitzerako ${\displaystyle x=(y-b)/a}$ zenbaki erreal dago eta.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow ({\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}),f(x)=arctan(x)}$ bijektiboa da, ${\displaystyle x}$ zenbaki erreal bakoitzak ${\displaystyle ({\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$ interbaloko angelu batekin bat datorrelako. ${\displaystyle ({\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$ irudi-multzoa handiagoa izango balitz ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$-ren multiploak barnean izateko, funtzioa ez litzateke supraiektiboa izango; izan ere, ez dago zenbaki errealik emaitza hau lortzeko funtzio honen bidez.
• Funtzio esponentziala, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=e^{x}}$, ez da bijektiboa, ez baitago ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ non ${\displaystyle f(x)=-1}$ den, erakutsiz ${\displaystyle f}$ ez dela supraiektiboa. Hala ere, irudi-multzoa zenbaki positibo errealetara murrizten bada, bijektiboa izango litzateke.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2}}$ funtzioa ez da bijektiboa. Adibidez, ${\displaystyle f(-1)=f(1)=1}$, injektiboa ez dela erakusten du. Dena den, abiaburu-multzoa erreal positiboetara murrizten bada, bijektiboa izango litzateke.

Kardinaltasuna eta bijektibitatea

Izan bitez A eta B bi multzo , eta horien artean ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ funtzio bijektibo bat existitzen da, kardinalak dituzte eta hau betetzen dute:

${\displaystyle card(A)=card(B)}$

Erreferentziak

Ikus, gainera

• Funtzio injektiboa
• Funtzio supraiektiboa
• Bana-banako korrespondentzia

Kanpo estekak

• (Ingelesez) bijekzioa mathworld-en

• Datuak: Q180907
• Multimedia: Bijectivity / Q180907