Differenssiyhtälö

Differenssiyhtälö on differentiaaliyhtälön diskreetti analogia. Se siis eroaa differentiaaliyhtälöstä siinä, että yhtälö on määritelty vain joissakin erillisissä pisteissä, hilassa. Yleistajuisemmin sanottuna differenssiyhtälö on yhtälö, jonka tämänhetkinen arvo määräytyy yhden tai useamman edellisen arvon perusteella.

Differenssiyhtälön yleinen muoto on

${\displaystyle F(y_{n-k},y_{n-k+1},\ldots ,y_{n+l-1},y_{n+l};n)=0}$,

missä ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ja k ja l ovat kiinnitettyjä kokonaislukuja, joita sitoo ehto ${\displaystyle k+l>0}$. Edellä esitetty on yleistä muotoa. Ensimmäisen asteen differenssiyhtälö määritellään seuraavalla yhtälöllä:

${\displaystyle x(n+1)=f(x(n))}$, missä ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Tällaiset pisteet voidaan myös esittää jonona aloittaen pisteestä ${\displaystyle x_{0}}$ seuraavasti: ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),f(f(f(x_{0}))),\dots }$. ^[1]

Yksinkertaisia differenssiyhtälöitä ovat esimerkiksi

${\displaystyle y_{n+1}=ny_{n}(1-y_{n})\,}$

${\displaystyle y_{n+1}+y_{n-1}={\frac {2ay_{n}}{1-y_{n}^{2}}}}$.

Differenssiyhtälöihin liittyvä terminologia on pitkälti analogista differentiaaliyhtälöiden kanssa. Ellei yhtälö riipu suoraan (eksplisiittisesti) indeksistä ${\displaystyle n}$, yhtälö on autonominen. Yllä olevista esimerkeistä jälkimmäinen yhtälö on autonominen. Yhtälön kertaluku puolestaan on luku ${\displaystyle k+l}$. Esimerkkiyhtälöistä ensimmäinen on 1. kertalukua, kun alempi on toisen kertaluvun yhtälö.^[2]

Yhtälöt jaetaan myös homogenisiin ja epähomogenisiin. Ensimmäisen asteen homogeninen differenssiyhtälö on muotoa ${\displaystyle x(n+1)=a(n)x(n),x(n_{0})=x_{0},n\geq n_{0}\geq 0}$ ja epähomogeninen vastaavasti ${\displaystyle y(n+1)=a(n)y(n)+g(n),y(n_{0})=y_{0},n\geq n_{0}\geq 0}$. Molemmissa yhtälöissä oletetaan, että ${\displaystyle a(n)\neq 0}$ ja ${\displaystyle a(n)}$ ja ${\displaystyle g(n)}$ ovat reaaliarvoisia ja määritelty aina, kun ${\displaystyle n\geq n_{0}\geq 0}$.^[3]

Differenssiyhtälöille on monia sovelluksia muun muassa insinööritieteiden, fysiikan, kemian ja tietojenkäsittelytieteen aloilla. Erityisesti säätöteoria on tärkeä sovelluskohde differenssiyhtälöille.^[4]

• Differentiaaliyhtälö
• Rekursiivinen jono
• q-analogia
• Rekursio

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.