Normiavaruus

Normiavaruus on matematiikassa lineaariavaruus, joka on varustettu normilla. Normi on matemaattinen yleistys kaksi- tai kolmiulotteisten Euklidisten avaruuksien intuitiivisesta pituuden käsitteestä, ja siten normiavaruuden yhteydessä voidaan puhua vektorien pituudesta tai koosta (jotka siis ovat kyseisten vektorien normeja), sekä niiden välisestä etäisyydestä. Tarpeen mukaan tietyn lineaariavaruuden voi varustaa erilaisilla normeilla, ja siksi normiavaruuden määrittämiseksi täytyykin esittää pari ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$, missä ${\displaystyle V}$ on lineaariavaruus ja ${\displaystyle ||\cdot ||}$ normi. Itseisarvo ${\displaystyle |\cdot |}$ on erikoistapaus normista, ja myös itseisarvoa vastaavaa merkintää käytetään joistakin normeista. Jos normi on asiayhteydestä selvä, tai sen valinta ei ole tärkeää, voidaan se jättää mainitsematta.^[1]

Normiavaruudessa voidaan kahden vektorin ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ välinen etäisyys määritellä normiksi ${\displaystyle ||X-Y||}$.

Sanotaan, että kaksi normia ||${\displaystyle \cdot }$||₁ ja ||${\displaystyle \cdot }$||₂ lineaariavaruudessa ${\displaystyle V}$ ovat ekvivalentteja, jos on olemassa positiiviset reaaliluvut ${\displaystyle C}$ ja ${\displaystyle D}$, joilla yhtälö

${\displaystyle C\|X\|_{1}\leq \|X\|_{2}\leq D\|X\|_{1}}$

toteutuu kaikilla lineaariavaruuden ${\displaystyle V}$ vektoreilla ${\displaystyle X}$.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.