Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen käyriä diskriminantin arvoilla >0, =0 ja <0.

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on a x 2 + b x + c = 0 , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\!} kun a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} .

Kun a > 0 {\displaystyle a>0} , on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, ja negatiivisilla arvoilla vastaavasti alaspäin aukeava.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} arvosta seuraavasti:

jos D > 0 {\displaystyle D>0\,\!} , yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta x 1 {\displaystyle x_{1}\,\!} ja x 2 {\displaystyle x_{2}\,\!}
jos D = 0 {\displaystyle D=0\,\!} , yhtälöllä on kaksoisjuuri x 1 , 2 {\displaystyle x_{1,2}\,\!} eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
jos D < 0 {\displaystyle D<0\,\!} , yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta, mutta on kaksi kompleksista juurta − b 2 a ± 4 a c − b 2 2 a i {\displaystyle {\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}i} , jotka ovat toistensa liittoluvut.

Ratkaisukaavan johtaminen

Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!} .

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:

a x 2 + b x = − c {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx&=-c\end{aligned}}} .

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä 4 a {\displaystyle 4a} .

4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac\,\!}

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille b 2 {\displaystyle b^{2}} saadaan binomin neliön muistikaavaa soveltamalla

4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 − 4 a c ( 2 a x + b ) 2 = b 2 − 4 a c 2 a x + b = ± b 2 − 4 a c 2 a x = − b ± b 2 − 4 a c {\displaystyle {\begin{aligned}4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\(2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\2ax&=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\end{aligned}}}

ja lopulta

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .

Ratkaisukaavan johtamisella on pyritty esittämään toisen asteen yhtälön ratkaisu helposti hallittavassa muodossa, vaikka sinänsä tarvittava matematiikka ei olekaan merkittävästi vaikeampaa kuin ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Suppea normaalimuoto

x 2 + p x + q = 0 ⇔ x = − p 2 ± ( p 2 ) 2 − q {\displaystyle x^{2}+px+q=0\Leftrightarrow x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}}

Juurien summa ja tulo

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} juurten x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):

  • x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,}
  • x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\,} .

Mikäli a = 1 {\displaystyle a=1} , saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:

  • x 1 + x 2 = − b {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b\,}
  • x 1 x 2 = c {\displaystyle x_{1}x_{2}=c\,} .

Lähteet

  • Seppänen, Raimo; Tiihonen, Seppo; Wuolijoki, Hilkka: ”Matematiikka: Kaavoja ja määritelmiä”, Maol-taulukot, s. 22. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.