Vaihdannaisuus

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation lopputulos on sama, olivatpa operandit kummassa järjestyksessä tahansa.^[1]

Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon ${\displaystyle X}$ joukko ja ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ sen alkioita. Operaatio ${\displaystyle \otimes :X\times X\mapsto X}$ on kommutatiivinen, jos kaikilla ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ toteutuu ${\displaystyle a\otimes b=b\otimes a}$.

Esimerkkejä kommutatiivisista operaatioista

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita, sillä a + b = b + a ja c * d = d * c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d.

Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}$ ja ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}$ reaalisia tai kompleksisia vektoreita. Vektorien x ja y pistetulo määritellään seuraavasti:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}}$

Pistetulon määritelmästä ja kertolaskun kommutatiivisuudesta seuraa että pistetulo on kommutatiivinen:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+y_{2}x_{2}+\ldots +y_{n}x_{n}=\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} }$

Esimerkkejä ei-kommutatiivisista operaatioista

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita, sillä 4−3 ≠ 3−4, ja 8:2 ≠ 2:8.

Katso myös

• liitännäisyys
• osittelulaki
• antikommutatiivisuus

Lähteet

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.