Fonction gamma d'Hadamard

Fonction gamma d'Hadamard tracée sur une partie de l'axe réel. Contrairement à la fonction gamma classique, elle est holomorphe ; il n'y a pas de poles

En mathématiques, la fonction gamma d'Hadamard, du nom de Jacques Hadamard, est une extension de la fonction factorielle, différente de la fonction gamma classique. Cette fonction, avec son argument décalé de 1, interpole la factorielle et l'étend aux nombres réels et complexes d'une manière différente de la fonction gamma d'Euler. Il est défini comme :

H ( x ) = 1 Γ ( 1 − x ) d d x { ln ⁡ ( Γ ( 1 2 − x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) ) } , {\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\},}
H ( n ) = Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!}

Propriétés

Contrairement à la fonction gamma classique, la fonction gamma d'Hadamard H(x) est une fonction entière, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de pôles dans son domaine. Il satisfait l'équation fonctionnelle

H ( x + 1 ) = x H ( x ) + 1 Γ ( 1 − x ) , {\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}},}

avec la convention que 1 Γ ( 1 − x ) {\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}} est pris égal à 0 pour les valeurs entières positives de x.

Γ ( x ) − H ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)-H(x)} ln ⁡ ( Γ ( x ) − H ( x ) ) {\displaystyle \ln(\Gamma (x)-H(x))} | Γ ( x ) − H ( x ) | {\displaystyle \left|\Gamma (x)-H(x)\right|} H ( x ) Γ ( x ) {\displaystyle {\frac {H(x)}{\Gamma (x)}}}

Représentations

La fonction gamma d'Hadamard peut également être exprimée par

H ( x ) = ψ ( 1 − x 2 ) − ψ ( 1 2 − x 2 ) 2 Γ ( 1 − x ) {\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}}

et par

H ( x ) = Γ ( x ) [ 1 + sin ⁡ ( π x ) 2 π { ψ ( x 2 ) − ψ ( x + 1 2 ) } ] , {\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],}

où ψ(x) désigne la fonction digamma.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard's gamma function » (voir la liste des auteurs).
  •  M. J. Hadamard, « Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière », Œuvres de Jacques Hadamard, Paris, Centre National de la Recherche Scientifiques,‎ (lire en ligne)
  • (en) H. M. Srivastava et Choi Junesang, Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals, Elsevier insights, , 124 p. (ISBN 978-0-12-385218-2)
  • (en) « Introduction to the Gamma Function », The Wolfram Functions Site, Wolfram Research, Inc (consulté le )
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