Inégalités maximales de Doob

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En mathématiques, les inégalités maximales de Doob sont un résultat de l'étude des processus stochastiques. Elles donnent une limite à la probabilité qu'une sous-martingale dépasse une valeur donnée sur un intervalle de temps donné.

Enoncé

Soit ${\displaystyle M_{n}}$ une martingale, ${\displaystyle |M_{n}|}$ est alors une sous-martingale positive. On se restreint désormais à ce cadre.

On note ${\displaystyle M_{n}^{*}=\sup _{0\leq k\leq n}M_{k}}$, l'inégalité maximale de Doob se formule :

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {P} (M_{n}^{*}\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E[M_{n}]} }{a}}}$

D'autres résultats peuvent être dérivés pour les variables ${\displaystyle L^{p}}$.

Démonstration

Soit ${\displaystyle T}$ le temps d'arrêt ${\displaystyle \min\{k\in \mathbb {N} |M_{k}\geq a\}}$

On décompose :

${\displaystyle \mathbb {E} [M_{T\land n}]=\mathbb {E} [\sum _{0\leq k\leq n}M_{k}\mathbb {1} _{T=k}+M_{T\land n}\mathbb {1} _{T>n}]\geq a\mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]+\mathbb {E} [M_{T\land n}\mathbb {1} _{T>n}]}$

Puis : ${\displaystyle a\mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]\leq \mathbb {E} [M_{T\land n}\mathbb {1} _{T\leq n}]=\mathbb {E} [M_{T\land n}]}$

Le théorème d'arrêt de Doob appliqué aux temps d'arrêts ${\displaystyle T\land n\leq n}$ garantit ${\displaystyle \mathbb {E} [M_{T\land n}]\leq \mathbb {E} [M_{n}]}$

Finalement :

${\displaystyle \mathbb {P} [M_{n}^{*}>a]\leq {\frac {\mathbb {E} [M_{n}]}{a}}}$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Doob's martingale inequality » (voir la liste des auteurs).

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