Loi de probabilité à queue lourde

Dans la théorie des probabilités, une loi de probabilité à queue lourde est une loi de probabilité dont les queues ne sont pas exponentiellement bornées^[1], ce qui signifie qu'elles ont des queues plus « lourdes » que la loi exponentielle. Dans de nombreuses applications, c'est la queue droite de la distribution qui est intéressante, mais une distribution peut avoir une queue lourde à gauche, ou les deux queues peuvent être lourdes.

Il y a trois sous-classes importantes de lois à queue lourde, les lois à queue épaisse, les lois à longue queue et les lois sous-exponentielles. Dans la pratique, toutes les lois à queue lourde couramment utilisées appartiennent à la classe sous-exponentielle.

Définitions

Loi à queue lourde

La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue lourde (à droite) si sa fonction génératrice des moments M_X(t), est infinie pour tout t > 0., soit^[2],[3]:

${\displaystyle \forall t>0,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{tx}\,\mathrm {d} F(x)=\infty .}$

On peut traduire cette propriété en termes de densité de distribution de queue

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \mathbb {P} [X>x]\,}$

comme

${\displaystyle \forall t>0,\lim _{x\to \infty }\mathrm {e} ^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty .\,}$

Loi à queue longue

La loi d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F est dite à queue longue (à droite) si ^[1]

${\displaystyle \forall t>0,\lim _{x\to \infty }\mathbb {P} [X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

ou

${\displaystyle \forall t>0,{\overline {F}}(x+t){\underset {x\to \infty }{\sim }}{\overline {F}}(x).}$

On peut le comprendre ainsi : à partir d'un certain niveau, la probabilité qu'une variable aléatoire à queue longue dépasse un niveau supérieur tend vers 1.

Une loi à queue longue est nécessairement à queue lourde, mais la réciproque est fausse : il est possible de construire des lois à queue lourde mais pas longue

Lois sous-exponentielles

La sous-exponentialité est définie en termes de convolution de densités de probabilités. Pour deux variables aléatoires iid ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ de même fonction de répartition ${\displaystyle F}$, la convolution de ${\displaystyle F}$ avec elle-même, notée ${\displaystyle F^{*2}}$, est définie par l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes :

${\displaystyle \mathbb {P} [X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(x-y)\,\mathrm {d} F(y),}$

et la convolution d'ordre n ${\displaystyle F^{*n}}$ est définie par récurrence :

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(x-y)\,\mathrm {d} F^{*n-1}(y).}$

La fonction de répartition de queue ${\displaystyle {\overline {F}}}$ est telle que ${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$.

Une loi de fonction de répartition ${\displaystyle F}$ est dite sous-exponentielle (à droite)^[1],[4],[5] si :

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}2{\overline {F}}(x).}$

On en déduit^[6]:

${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\ {\overline {F^{*n}}}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}n{\overline {F}}(x).}$

On peut y voir l'interprétation probabiliste suivante^[6]: pour une somme de ${\displaystyle n}$ variables aléatoires iid ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ de loi commune ${\displaystyle F}$,

${\displaystyle \mathbb {P} [X_{1}+\cdots +X_{n}>x]{\underset {x\to \infty }{\sim }}\mathbb {P} [\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x].}$

On désigne cette propriété comme le principe du grand saut simple^[7] ou principe de la catastrophe^[8]

Une loi ${\displaystyle F}$ sur la droite réelle complète est sous-exponentielle si la loi ${\displaystyle F1\!\!1_{[0,\infty [}}$ l'est^[9]; la fonction ${\displaystyle 1\!\!1_{[0,\infty [}}$ est la fonction indicatrice de la demi-droite positive. De façon alternative, une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ réelle est sous-exponentielle ssi ${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$ est sous-exponentielle.

Toutes les lois sous-exponentielles sont à queue longue, mais on peut construire des lois à queue longue mais non sous-exponentielles.

Exemples de lois à queue lourde

Parmi les lois classiques à queue lourde, toutes sont sous-exponentielles^[6].

Dans les lois à queue lourde à droite, on trouve :

• la loi de Pareto ;
• la loi log-normale ;
• la loi de Lévy ;
• la loi de Weibull avec un paramètre de forme compris entre 0 et 1 ;
• la loi de Burr ;
• la loi log-logistique ;
• la loi log-gamma ;
• la loi de Fréchet ;
• la loi q-normale
• la loi log-Cauchy, parfois décrite comme ayant une "queue super-lourde" car elle montre une croissance logarithmique produisant une queue plus lourde que celle de la loi de Pareto^[10],[11].

Parmi les lois à deux queues lourdes :

• la loi de Cauchy, elle-même cas particulier de la loi stable et de la loi de Student ;
• la famille des lois stables^[12], à l'exception de la loi normale, qui est un cas particulier de cette famille. Certaines lois stables sont à une queue, comme la loi de Lévy.
• la loi de Student.
• la loi cascade log-normale asymétrique^[13].

Relation aux lois à queue épaisse

Une loi à queue épaisse (en) est une loi pour laquelle la densité de probabilités, pour de grandes valeurs de x, décroit en ${\displaystyle x^{-a}}$. Puisqu'une fonction puissance est toujours bornée par une fonction exponentielle, les lois à queue épaisse sont toujours à queue lourde. Certaines lois, cependant, ont une queue qui décroit vers 0 plus lentement que la fonction exponentielle (dont sont à queue lourde), mais plus lentement qu'une fonction puissance (donc pas à queue épaisse).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heavy-tailed distribution » (voir la liste des auteurs).

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