Numération d'Ostrowski

En mathématiques, la numération d'Ostrowski, qui porte le nom d'Alexander Ostrowski, est un système de numération basé sur le développement en fraction continue ; c'est un système de numération positionnel non standard pour les entiers et pour les nombres réels.

Notations

Soit ${\displaystyle \alpha }$ un nombre irrationnel positif avec développement en fraction continue

${\displaystyle \alpha =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}}$

Soit ${\displaystyle (q_{n})}$ la suite des dénominateurs des convergents ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ vers ${\displaystyle \alpha }$, donnée par

${\displaystyle q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}}$.

On pose ${\displaystyle \alpha _{n}=T^{n}(\alpha )}$, où ${\displaystyle T}$ est l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing donné par ${\displaystyle T(x)=\{1/x\}}$, et ${\displaystyle \beta _{n}=(-1)^{n+1}\alpha _{0}\alpha _{1}\cdots \alpha _{n}}$ ; on a alors

${\displaystyle \beta _{n}=a_{n}\beta _{n-1}+\beta _{n-2}}$.

Représentation des nombres réels

Tout nombre réel positif ${\displaystyle x}$ peut être écrit sous la forme

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\ }$

où les coefficients ${\displaystyle b_{n}}$ vérifient l'inégalité ${\displaystyle b_{n}\leq a_{n}}$ et, s'il y a égalité ${\displaystyle b_{n}=a_{n}}$, alors ${\displaystyle b_{n-1}=0}$.

Représentation des entiers naturels

Tout entier positif ${\displaystyle N}$ peut être écrit de façon unique sous la forme

${\displaystyle N=\sum _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\ }$

où les coefficients vérifient l'inégalité ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ et si ${\displaystyle b_{n}=a_{n}}$ alors ${\displaystyle b_{n-1}=0}$.

Si ${\displaystyle \alpha =\varphi }$ est le nombre d'or, alors les quotients partiels ${\displaystyle a_{n}}$ sont tous égaux à 1, les dénominateurs ${\displaystyle q_{n}}$ denominators q_n sont les nombres de Fibonacci et on retrouve le théorème de Zeckendorf sur le codage de Fibonacci des entiers positifs comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.

Article lié

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Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ostrowski numeration » (voir la liste des auteurs).

• Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit, Automatic Sequences : Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, 2003, 571 p. (ISBN 978-0-521-82332-6, zbMATH 1086.11015, lire en ligne).
• Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi et Jeffrey Shallit, « Sturmian graphs and integer representations over numeration systems », Discrete Applied Mathematics, vol. 160, n^os 4-5,‎ 2012, p. 536–547 (DOI 10.1016/j.dam.2011.10.029, zbMATH 1237.68134)
• Alexander Ostrowski, « Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen », Hamb. Abh., vol. 1,‎ 1921, p. 77–98 (JFM 48.0197.04)
• (en) N. Pytheas Fogg (nom de plume), Valérie Berthé, Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit et Anne Siegel (éditeurs), Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Berlin/Heidelberg/New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1794), 2002, 402 p. (ISBN 3-540-44141-7, zbMATH 1014.11015)

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