Pendule inversé

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En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique non linéaire.

Équation du mouvement

La situation est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple, en considérant une tige rigide mais de masse négligeable. On définit donc :

• θ l'angle formé entre la tige et l'axe vertical orienté vers le haut ;
• m la masse du pendule ;
• l la longueur de la tige ;
• g l'accélération de la pesanteur ;

On note les dérivées temporelles par un point :

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}}$ et ${\displaystyle {\ddot {\theta }}={\frac {d{\dot {\theta }}}{dt}}}$.

On peut alors établir la période des oscillations :

${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}}$.

L'énergie cinétique est :

${\displaystyle E_{c}={\frac {ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}}$.

L'énergie potentielle de gravité :

${\displaystyle E_{p}=mgl(1+\cos \theta )}$.

Si le pendule est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique, ${\displaystyle E=E_{c}+E_{p}}$. Alors, on obtient :

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-\omega _{0}^{2}\sin \theta =0}$.

La différence avec le pendule simple est que le pendule est en position haute ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

Pendule inversé sur un chariot

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot, ${\displaystyle \theta (t)}$ l'angle formé entre la tige et la verticale, le système étant soumis à la gravité et à une force F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien est :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$

avec T l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

avec ${\displaystyle v_{1}}$ la vitesse du chariot et ${\displaystyle v_{2}}$ celle de la masse ${\displaystyle m}$. On peut exprimer ${\displaystyle v_{1}}$ et ${\displaystyle v_{2}}$ à partir de x et ${\displaystyle \theta }$ :

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}={\left({\dot {x}}-\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)}^{2}+{\left(-\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)}^{2}}$ ce qui s'écrit encore :

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

Le lagrangien est donné par :

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

et les équations du mouvement sont donc :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial \theta }=0}$

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non linéaires, du mouvement du pendule :

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {x}}\cos \theta =g\sin \theta }$

Voir aussi

Articles connexes

• Pendule ;
• Pendule paramétrique ;
• Pendule simple ;
• Théorème de Kapitza.

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