Processus prévisible

Dans l'analyse stochastique, qui fait partie de la théorie mathématique de la probabilité, un processus prévisible est un processus stochastique dont la valeur peut être connue à un moment antérieur. Les processus prévisibles constituent la classe la plus petite qui soit fermée en prenant des limites de séquences et contient tous les processus adaptés et continus à gauche.  

Définition mathématique

Processus à temps discret

Étant donné un espace de probabilité filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },\mathbb {P} )}$, un processus stochastique ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est prévisible si ${\displaystyle X_{n+1}}$ est mesurable par rapport à la σ-algèbre ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ pour chaque n^[1].

Processus en temps continu

Étant donné un espace de probabilité filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$, un processus stochastique en temps continu ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ est prévisible si ${\displaystyle X}$, considéré comme une application de ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} _{+}}$, est mesurable par rapport à la σ-algèbre générée par tous les processus adaptés continus à gauche^[2] . Cette σ-algèbre est aussi appelée σ-algebre prévisible .

Voir également

• Processus adapté
• Martingale

Notes et références

• Portail de l'analyse