Antiszimmetrikus reláció

Egy ${\displaystyle R}$ kétváltozós relációt akkor nevezünk antiszimmetrikusnak a ${\displaystyle D}$ halmazon, ha a ${\displaystyle D}$ bármely két olyan ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ elemére, amelyre fennáll egyszerre, hogy ${\displaystyle a}$ relációban áll ${\displaystyle b}$-vel és ${\displaystyle b}$ relációban áll ${\displaystyle a}$-val, akkor az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ azonos. Ezt tömören matematikai jelöléssel így lehet felírni:

${\displaystyle \forall a,b\in D(aRb\land bRa\Longrightarrow a=b)}$

Egyszerű példa az antiszimmetrikus relációra a valós számok számok halmazán értelmezett „kisebb egyenlő” reláció, hiszen ha két ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ valós szám nem egyenlő, akkor pontosan az egyik áll fenn az alábbiakból:

${\displaystyle a\leq b}$ vagy ${\displaystyle b\leq a}$

További példaként említhető egy halmaz hatványhalmazán vett részhalmaz reláció.

Fontos megjegyezni, hogy az antiszimmetrikus reláció nem ellentéte a szimmetrikus relációnak. Van olyan reláció (például az egyenlőség), amely egyben szimmetrikus és antiszimmetrikus, és van olyan reláció, amely nem szimmetrikus és nem antiszimmetrikus (például az egész számok halmazán értelmezett oszthatóság).

További információk

• Alice és Bob - 12. rész: Alice és Bob rendet tesz