Csebisev-egyenlőtlenség

A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.

Állítás

Formálisan, legyen ${\displaystyle X}$ véges szórású valószínűségi változó, várható értéke

${\displaystyle \mu :=\operatorname {E} (X)}$

és szórásnégyzete

${\displaystyle \sigma ^{2}:=\operatorname {Var} (X)}$.

Ekkor a ${\displaystyle k>0}$ valós számokra

${\displaystyle \operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\geq k\right]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}}$.

A komplementer eseményre

${\displaystyle \operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|<k\right]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}}$.

A becslés jósága

A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül.

Legyen például ${\displaystyle X}$ diszkrét valószínűségi változó, és

${\displaystyle \operatorname {P} \left[X=0\right]=1-p}$

továbbá

${\displaystyle \operatorname {P} \left[X=-a\right]=\operatorname {P} \left[X=a\right]=p/2}$,

ahol ${\displaystyle a}$ egy pozitív szám, és ${\displaystyle p\in (0,1)}$. Ekkor ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)=0}$ és ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)=a^{2}p}$, így a becslés

${\displaystyle P(|X-0|\geq k)\leq {\frac {a^{2}p}{k^{2}}}}$

ami ${\displaystyle k=a}$ esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor ${\displaystyle P(|X|\geq k)=P(|X|\geq a)=p}$.

Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha ${\displaystyle k\leq \sigma }$, akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.

Változatok

Standard eltéréssel

Ha a ${\displaystyle \sigma }$ standard eltérés nem nulla, és ${\displaystyle \lambda }$ pozitív, akkor a ${\displaystyle k=\lambda \sigma }$ helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk:

${\displaystyle \operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma \right]\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

Ez csak ${\displaystyle \lambda >1}$ esetén ad érdemi becslést, mivel a ${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$ esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél.

Magasabb momentumokra

Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik,^[1] A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert.^[2][3] Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.^[4]

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\nu )}$ mértéktér, ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ mérhető függvény, és ${\displaystyle \varepsilon ,p\in \mathbb {R} ^{+}}$, akkor teljesül, hogy:

${\displaystyle \nu (\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{p}}}\int _{\Omega }f^{p}{\rm {d}}\nu }$.

Ez következik abból, hogy:

${\displaystyle \int _{\Omega }f^{p}\;{\rm {d}}\nu \geq \int _{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \}}f^{p}\;{\rm {d}}\nu \geq \int _{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \}}\varepsilon ^{p}\;{\rm {d}}\nu =\varepsilon ^{p}\nu (\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \})}$

Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha ${\displaystyle \nu =P}$, ${\displaystyle f=|X-\mu |}$ és ${\displaystyle p=2}$, akkor :${\displaystyle P(|X-\mu |\geq k)=P(|X-\mu |^{2}\geq k^{2})\leq {\frac {1}{k^{2}}}\int _{\Omega }|X-\mu |^{2}\;{\rm {d}}P={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}}$.

Példák

1. példa

A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik (${\displaystyle k=400,~\mu =1000,~\sigma =200}$).

A számítás:

${\displaystyle \operatorname {P} \left[\left|X-1000\right|<400\right]\geq 1-{\frac {200^{2}}{400^{2}}}=0{,}75=75\ \%}$

2. példa

Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke ${\displaystyle \mu }$ és szórása ${\displaystyle \sigma }$, akkor az értékek fele az ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ intervallumba esik.

3. példa

Egy véletlen esemény ${\displaystyle p}$ valószínűséggel következik be. A kísérletet ${\displaystyle n}$-szer végzik el, az esemény ${\displaystyle k}$-szor következik be. Ekkor ${\displaystyle k}$ binomiális eloszlású, várható értéke ${\displaystyle np}$, szórásnégyzete ${\displaystyle np(1-p)}$; a bekövetkezés relatív gyakorisága ${\displaystyle {\tfrac {k}{n}}}$, ennek várható értéke ${\displaystyle p}$ és szórásnégyzete ${\displaystyle {\tfrac {p(1-p)}{n}}}$. A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől

${\displaystyle \operatorname {P} \left[\left|{\frac {k}{n}}-p\right|\geq \epsilon \right]\leq {\frac {p(1-p)}{\epsilon ^{2}n}}\leq {\frac {1}{4\epsilon ^{2}n}}}$,

ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő ${\displaystyle {\sqrt {p(1-p)}}\leq {\tfrac {1}{2}}}$ adja.

Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez.

Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Chernoff-egyenlőtlenség szolgáltat.

Alkalmazások

• Felhasználják a Borel-Cantelli-lemma és a nagy számok gyenge törvényének bizonyításában.^[5]
• Az általánosítással megmutatható, hogy a függvénysorozatok ${\displaystyle L^{p}\;}$ értelemben vett konvergenciájából következik a mérték szerinti konvergencia.
• Az ${\displaystyle m}$ mediánra igaz, hogy ${\displaystyle \left|\mu -m\right|\leq \sigma }$.

Bizonyítása

A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség

${\displaystyle P\left[Y\geq k\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[h(Y)\right]}{h(k)}}.}$

ahol ${\displaystyle Y=|X-\mu |}$ és ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$.^[6][7][8]

Önálló bizonyítás található például Wirthsnél.^[9] Legyen

${\displaystyle A_{k}=\{\omega \in \Omega \mid |X-\mu |\geq k\}}$.

és jelölje ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ az ${\displaystyle A}$ halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden ${\displaystyle \omega }$ esetén teljesül az

${\displaystyle |X(\omega )-\mu |^{2}\geq k^{2}\mathbf {1} _{A_{k}}(\omega )}$

egyenlőtlenség.

Ha ${\displaystyle \omega \notin A_{k}}$, akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha ${\displaystyle \omega \in A_{k}}$, akkor definíció szerint a bal oldalon az ${\displaystyle A_{k}}$ halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy ${\displaystyle k^{2}}$ értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (|X-\mu |^{2})\geq \operatorname {E} (k^{2}\mathbf {1} _{A_{k}})=k^{2}P(A_{k})=k^{2}P(|X-\mu |\geq k)}$.

${\displaystyle k^{2}}$-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.^[10]

Története

Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.^[11][12]

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Tschebyscheffsche Ungleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.