Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

A valószínűségszámításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

f ( x ) = { 1 b − a h a   a ≤ x ≤ b , 0 h a   x < a   v a g y   x > b {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {ha} \ x<a\ \mathrm {vagy} \ x>b\end{cases}}}

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást.

Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Jellemző függvényei

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Eloszlásfüggvénye

F ( x ) = { 0 h a   x < a , x − a b − a h a   a ≤ x ≤ b , 1 h a   x > b {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&\mathrm {ha} \ x<a,\\{\frac {x-a}{b-a}}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\1&\mathrm {ha} \ x>b\\\end{cases}}}

Karakterisztikus függvénye

φ ( t ) = e i t a + b 2 sin ⁡ t b − a 2 t b − a 2 {\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{it{\frac {a+b}{2}}\sin {t{\frac {b-a}{2}}}}}{t{\frac {b-a}{2}}}}}

A sűrűségfüggvényének tulajdonságai

  • Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra.
  • Az [a,b] intervallum minden pontja maximumhely.
  • A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
    • Két ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
    • Három ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már folytonosan differenciálható.

Jellemző mennyiségei

Várható értéke

E ( X ) = a + b 2 {\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {a+b}{2}}}

Szórása

D ( X ) = b − a 12 {\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}}

Momentumai

A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak

E ( X − E ( X ) ) 2 r = ( b − a 2 ) 2 r ( 2 r + 1 ) − 1 {\displaystyle \mathbf {E} (X-\mathbf {E} (X))^{2r}=\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2r}(2r+1)^{-1}}

Ferdesége

β 1 ( X ) = 0 {\displaystyle \beta _{1}(X)=0\,}

Lapultsága

β 2 ( X ) = − 1 , 2 {\displaystyle \beta _{2}(X)=-1,2\,}

Diszkrét egyenletes eloszlás

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok véges halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza {1,2,3,4,5,6}, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Többdimenziós egyenletes eloszlás

Az egydimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás.

Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik.

Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

f ( x ) = { 1 λ ( G ) h a   x ∈ G , 0 e g y e ´ b k e ´ n t {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\lambda (G)}}&\mathrm {ha} \ x\in G,\\0&\mathrm {egy{\acute {e}}bk{\acute {e}}nt} \\\end{cases}}}

Források

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]
  • Diszkrét egyenletes eloszlás[halott link]
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!