F-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt)

Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. ^[1][2][3][4] Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás vagy Fisher–Snedecor-eloszlás Ronald Fisher és George W. Snedecor után.^[5]

Definíció

Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó F-eloszlású ${\displaystyle d_{1}}$ és ${\displaystyle d_{2}}$ paraméterekkel, akkor írhatjuk ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$. ${\displaystyle X}$ valószínűség sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!\end{aligned}}}$

valós ${\displaystyle x\geq 0}$ esetekre. Itt a ${\displaystyle \mathrm {B} }$, a béta-függvény. A legtöbb alkalmazásban a ${\displaystyle d_{1}}$ és ${\displaystyle d_{2}}$ pozitív egész. A kumulatív eloszlásfüggvény:

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2),}$

ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

Egy ${\displaystyle \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$ k-ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha ${\displaystyle 2k<d_{2}}$, és egyenlő::^[6] ${\displaystyle \mu _{X}\left(k\right)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left(d_{1}/2+k\right)}{\Gamma \left(d_{1}/2\right)}}{\frac {\Gamma \left(d_{2}/2-k\right)}{\Gamma \left(d_{2}/2\right)}}}$

Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény:^[7]

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ((d_{1}+d_{2})/2)}{\Gamma (d_{2}/2)}}U(d_{1}/2,1-d_{2}/2,-d_{2}/d_{1}\imath s)}$

ahol ${\displaystyle U(a,b,z)}$ a másodfajú hipergeometrikus-függvény.

Jellemzők

Egy d₁ és d₂ paraméterekkel rendelkező F-eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:

${\displaystyle {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

ahol

• U₁ és U₂ khí-négyzet eloszlásúak, d₁ és d₂ szabadságfokokkal, és
• U₁ és U₂ függetlenek egymástól

Olyan esetekben, amikor az F-eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U₁ és U₂ függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt.

Általánosítás

Az F-eloszlás általánosítása, a nemcentrális F-eloszlás.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha ${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}}$ és ${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$, függetlenek, akkor ${\displaystyle {\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$
• Ha ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)}$ (Béta-eloszlás), akkor ${\displaystyle {\frac {\nu _{2}X}{\nu _{1}\left(1-X\right)}}\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$
• Hasonlóan, ha ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$, akkor ${\displaystyle {\frac {\nu _{1}X/\nu _{2}}{1+\nu _{1}X/\nu _{2}}}\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)}$.
• Ha ${\displaystyle X\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ akkor ${\displaystyle Y=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}X}$ khí-négyzet eloszlás ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ ekvivalens a skálázott Hotelling T-négyzet eloszlással ${\displaystyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}(\nu _{1}+\nu _{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(\nu _{1},\nu _{1}+\nu _{2}-1)}$.
• Ha ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2}),}$, akkor ${\displaystyle {\frac {1}{X}}\sim F(\nu _{2},\nu _{1})}$.
• Ha ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (m)\,}$ (Student t-eloszlás), akkor ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=m)}$.
• Ha ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (n)\,}$ (Student t-eloszlás), akkor ${\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=n,\nu _{2}=1)}$.
• F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete.
• Ha ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$, akkor ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ (Fisher z-eloszlás)
• A nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha ${\displaystyle \lambda =0}$
• A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Ha ${\displaystyle p}$ kvantilise ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ esetében, és ${\displaystyle 1-p}$ kvantilise ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$, akkor

${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$.

Irodalom

• Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). (hely nélkül): Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0  
• Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution. (hely nélkül): Biometrika. 1982. 261–264. o.  

Jegyzetek

Források

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods oldala Archiválva 2021. február 17-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Adatok

Kapcsolódó szócikkek

• Khí-négyzet eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Eloszlásfüggvény