Parciális integrálás

A matematikai analízisben a parciális integrálás tétele segítségével egy integrálkifejezés integrandusát lehet átalakítani, mely egyes számítások megkönnyítésére szolgál. Abban az esetben előnyös alkalmazni, amikor az első tényező, illetve a második tényező deriváltja szorzatának egyszerűbb megadni a primitív függvényét, mint a szorzatát.

Ha adott két függvény ${\displaystyle f=f(x)}$, illetve ${\displaystyle g=g(x)}$ alakban, a parcális integrálás szabálya szerint ekkor az integrál az alábbiak szerint írható át:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx}$.

Elméleti levezetése

Legyen g(x) és f(x) két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

${\displaystyle {d \over dx}(f(x)g(x))={d \over dx}f(x)g(x)+f(x){d \over dx}g(x)}$.

Mindkét oldalt x szerint integrálva kapjuk, hogy

${\displaystyle \int {d \over dx}(f(x)g(x))=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx}$.

A határozatlan integrál értelmezését használva:

${\displaystyle f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx}$, ebből pedig:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx}$.

Alkalmazásai

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes f(x)-nek illetve g(x)-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények

Számítsuk ki L-et, ahol

L= ${\displaystyle \int _{a}^{b}\ xsinxdx}$.

Legyen

${\displaystyle f=x\Rightarrow df=dx}$,

${\displaystyle dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x}$.

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát :

${\displaystyle \int x\sin xdx=-x\cos x-\int (-\cos xdx)}$

${\displaystyle =-x\cos x+\sin x+C}$.

Ahol C egy integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

Számítsuk ki L-et,ahol

${\displaystyle L=\int \arctan xdx}$,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

${\displaystyle L=\int \arctan x\cdot 1dx}$.

Legyen

${\displaystyle f=\arctan x\Rightarrow df={1 \over 1+x^{2}}dx}$,

${\displaystyle dg=dx\Rightarrow g=x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle \int \arctan xdx=x\cdot \arctan x-\int {x \over 1+x^{2}}dx}$

${\displaystyle =x\cdot \arctan x-{ln(1+x^{2}) \over 2}+C}$,

ahol C egy integrálási állandó. Számítsuk ki L-et, ahol

${\displaystyle L=\int \ln xdx}$,

majd írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

${\displaystyle L=\int \ln x\cdot 1dx}$.

Legyen

${\displaystyle f=\ln x\Rightarrow df={dx \over x}}$,

${\displaystyle dg=dz\Rightarrow g=x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle \int \ln xdx=x\cdot \ln x-\int x\cdot {1 \over x}dx}$

${\displaystyle =x\cdot \ln x-\int 1\cdot dx}$

${\displaystyle =x\cdot \ln x-x+C}$,

ahol C egy integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzatának esete

Számítsuk ki L-et,ahol

${\displaystyle L=\int \sin ^{2}xdx}$,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

${\displaystyle L=\int \sin x\cdot \sin xdx}$.

Legyen

${\displaystyle f=\sin x\Rightarrow df=\cos xdx}$,

${\displaystyle dg=\sin xdx\Rightarrow g=\int \sin xdx=-\cos x}$.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

${\displaystyle \int \sin ^{2}xdx=-\sin x\cdot \cos x-\int -\cos x\cdot \cos xdx}$

${\displaystyle =-\sin x\ \cdot \cos x+\int \cos ^{2}xdx}$

${\displaystyle =-\sin x\cdot \cos x+\int 1-\sin ^{2}xdx}$

${\displaystyle =-\sin x\cdot \cos x+x-L\Rightarrow 2L=--\sin x\cdot \cos x+x}$.

Tehát

${\displaystyle L={-\sin x\cdot \cos x+x \over 2}+C}$.

ahol C integrálási állandó.

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Evans, Lawrence C. Partial Differential Equations.. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (1998). ISBN 0-8218-0772-2. 
• Rogers, Robert C. The calculus of several variables (September 29 2011) 
• Horobetz, David. Tabular Integration by Parts. The College Mathematics Journal 
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
• Methods of Applied Mathematics (PDF) (2005) 
• Finta, Zoltán. Matematikai analízis. Csíkszereda, Romania: Státus kiadó (2017). ISBN 978-606-661-059-9