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La distribuzione T-quadrato di Hotelling (chiamata così secondo Harold Hotelling) è una generalizzazione della distribuzione t di Student utilizzata nei test di ipotesi multivariati.
Definizione
La statistica T-quadrato di Hotelling è definita come segue:
Siano
![{\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6059f1a9fd7e618284db998e1f97b39a1bc23b1)
p×1 vettori colonna di numeri reali e
![{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fed0c64f04dc3635951eeb6a3ebf481d59fa116)
le loro medie. Sia
![{\displaystyle {\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb45d9219f3d957bedb3cf7c24a023fc79deff5)
la matrice non negativa data dalla loro varianza (la trasposta di una matrice
viene indicata com
).
Sia μ un vettore colonna
noto (in applicazione dei valori medi ipotizzati per la popolazione). La statistica T-quadrato di Hotelling è data da
![{\displaystyle T^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b99ec12fcdf7e3aaab0ed9c1bda5fc1c80f9388)
Risultati teorici
Se
è una variabile casuale con una distribuzione normale multivariata,
è distribuita come una variabile casuale di Wishart, e sia
che
sono indipendenti, allora
è distribuita come una variabile casuale T-quadrato di Hotelling.
Si può dimostrare che se
, sono indipendenti e sia
che
sono definiti come sopra allora
è distribuita come una variabile casuale di Wishart con
gradi di libertà ed è indipendente da
e
![{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim N_{p}(\mu ,V/n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fec2fa9a841764b22c50b282ad09bde544940d)
Inoltre, se entrambe le distribuzioni sono non-singolari, si può dimostrare che
![{\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33620c3a7097515e93bad0562aad5b7a72d97af)
dove
è la variabile casuale F di Snedecor.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione T-quadrato di Hotelling, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Distribuzione T-quadrato di Hotelling, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
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