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In matematica, e in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael
è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Daniel Carmichael (1879-1967).
Definizione
La funzione di Carmichael associa a ogni intero positivo
un intero positivo
, definito come il più piccolo intero positivo
tale che
![{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fc1129ed6ef251f80b3235d6bd825ecab219d3)
Calcolare
con il teorema di Carmichael
Sia
intero positivo e sia
la fattorizzazione in primi di
. Si ha:
![{\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {mcm} {\big (}\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\,\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\,\ldots ,\,\lambda (p_{k}^{a_{k}}){\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f5b1a9489ed0d725f1e34d3a7d33209be1c07d)
dove
indica il minimo comune multiplo in
.
Il teorema di Carmicheal indica come calcolare
se
con
primo e
intero positivo:
![{\displaystyle \lambda (p^{k})={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\varphi (p^{k})&{\text{ se }}p=2{\text{ e }}k\geq 3\\\varphi (p^{k})&{\text{ altrimenti, }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d436471cdeed566ea42e0d60c55c0d3da78725)
dove
è la funzione φ di Eulero che per una potenza di un primo è data da:
![{\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042279c4e62d2bd0e765e1f66e76614f973645f4)
Proprietà
Sia
la funzione φ di Eulero, si ha che
è un divisore di
.
Si ha che
è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini o periodi degli elementi) del gruppo delle unità (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di
.
Voci correlate
Altri progetti
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