Insieme stellato

In matematica, un insieme $S$ nello spazio euclideo Rⁿ si dice stellato (o stellato-convesso, o ancora stellare) se esiste almeno un punto $x_{0}$ in $S$ tale che per tutti i punti $x$ in $S$ il segmento da $x_{0}$ a $x$ è contenuto in $S$ . Un tale $x_{0}$ si dice centro e se l'insieme è aperto, allora il centro non è unico. Cosa che invece non accade per gli insieme chiusi, dove il centro può anche essere unico, ad esempio se si considera l'unione dei due assi nel piano (che è chiuso) l'unico centro è l'origine.

Questa definizione è generalizzabile per ogni spazio vettoriale reale o complesso. In uno spazio vettoriale $V$ su Rⁿ un insieme $A$ si dice stellato se esiste almeno un punto $x\in A$ tale che per ogni altro punto $y\in A$ il segmento che li congiunge, cioè l'insieme $\{x+t(y-x):t\in [0,1]\}$ , è interamente contenuto in $A$ .

Sottoinsieme **stellato** $A$ di $\mathbb {R} ^{2}$ . Ogni punto della porzione in viola è un **centro** e l'insieme dei centri è un **convesso**.

{\displaystyle A} — Sottoinsieme **stellato** $A$ di $\mathbb {R} ^{2}$ . Ogni punto della porzione in viola è un **centro** e l'insieme dei centri è un **convesso**.

Intuitivamente, se si immagina $S$ come una regione circondata da un recinto, $S$ è un insieme stellato se si può trovare un punto di vista $x_{0}$ in $S$ dal quale qualunque punto $x$ di $S$ è visibile (cioè compreso nella linea dello sguardo).

Un particolare caso di insieme stellato è quello di insieme convesso, per il quale vale una condizione più forte: tutti i segmenti aventi per estremi una qualsiasi coppia di punti $x,y\in A$ sono interamente contenuti nell'insieme. Dunque un convesso è uno stellato che ha un centro in ogni suo punto.

Un campo irrotazionale definito su un dominio stellato è conservativo.

Esempi

Qualunque linea o piano in Rⁿ è un dominio stellare.
Una linea o piano di cui si esclude un punto non sono domini stellari.
Se A è un insieme in Rⁿ, l'insieme

B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}

ottenuto connettendo qualunque punto in A all'origine è un dominio stellare.

Proprietà

Ogni insieme convesso è un insieme stellato, mentre non è valido il viceversa.
Un insieme è convesso se e solo se è un insieme stellato rispetto a tutti i punti dell'insieme.
La chiusura di un insieme stellato è un insieme stellato, ma l'interno di un insieme stellato non è necessariamente un insieme stellato.
L'unione e l'intersezione di due insiemi stellati non sono necessariamente un insieme stellato.
Una figura a forma di stella o croce è un insieme stellato, ma non è convesso.
Un aperto stellato non vuoto di Rⁿ è diffeomorfo a Rⁿ.
Ogni insieme stellato è uno spazio contraibile, attraverso un'omotopia che è una retta. In particolare, quindi, ogni insieme stellato è semplicemente connesso.

Bibliografia

Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.
C.R. Smith, A characterization of Star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). pp. 386.