Limite di Laplace

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In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto forma di serie. Il suo valore approssimato è

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

L'equazione di Keplero M = E − e sin ⁡ E {\displaystyle M=E-e\sin E} è usata in astronomia e correla l'anomalia media M com l'anomalia eccentrica E di un corpo che si muove attraverso una traiettoria ellittica con eccentricità e. Queta equazione non ha soluzioni per E in termini di funzione elementare, ma può essere espressa come una serie di potenze:

E = M + sin ⁡ ( M ) ε + 1 2 sin ⁡ ( 2 M ) ε 2 + ( 3 8 sin ⁡ ( 3 M ) − 1 8 sin ⁡ ( M ) ) ε 3 + ⋯ {\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori dell'eccentricità ma diverge per ogni valore di M diverso da un multiplo di π se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da M: questo valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

Il valore si ottiene come soluzione dell'equazione:

x exp ⁡ ( 1 + x 2 ) 1 + 1 + x 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1}

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Limite di Laplace, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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